Лінійні форми

Означення. Якщо кожному вектору з деякого лінійного простору зіставляється повне число з деякої числової множини, то говорять, що на лінійному просторі задана числова функція векторного аргументу .

Числова функція векторного аргументу за визначенням не залежить від базису. Якщо простір скінчений і в ньому заданий базис, то ця функція зводиться до функції числових змінних – координат вектора .

Числова функція векторного аргументу, визначена на скінченому лінійному просторі називається лінійною формою, якщо виконується умова

(1.1)

де - будь-які вектори із ; - будь-які числа.

Зауваження. Лінійні функції векторного аргументу, задані на скінчено вимірних просторах, зазвичай називають лінійними функціоналами.

Загальний вид лінійної форми у - вимірному просторі

Нехай вектори утворюють базис в - вимірному лінійному просторі . Розкладемо довільний вектор по цьому базису .

Розглянемо числову лінійну функцію векторного аргументу . Маємо: .

В силу лінійності цієї функції , тобто .

Покладемо

тоді лінійна форма запишеться таким чином:

(1.2)

Отже ми показали, що всяка лінійна форма в - просторі має вигляд (1.2), де - деякі фіксовані числа.

Формулу (1.2) можна таким чином записати в матричному вигляді. Якщо - стовпець з чисел , а - координатний стовпець вектора , то очевидно

(1. )

Знову ж таки, якщо , - довільний набір констант, то функція , визначtна рівністю (1.2), є лінійною формою в просторі .

Перетворення коефіцієнтів лінійної форми при зміні базису

Нехай і - два базиси - вимірного простору . Вектори виражаються через базис формулами .

Оскільки , а , то

В математичному вигляді це викладення проводиться таким чином: , звідси .

Аналогічно, якщо , то .

Таким чином, ми довели наступну теорему.

Теорема 1. Коефіцієнти лінійної форми перетворяться при переході від одного базису до іншого так само, як вектори базису.

У зв’язку з цим говорять, що коефіцієнти лінійної форми при зміні базису перетворяться коваріантно, тобто так, як вектори, що становлять базис.

Отже, для знаходження стовпця коефіцієнтів форми в новому базисі стовпець із старих коефіцієнтів необхідно помножити на матрицю транспоновану до матриці переходу від старого базису до нового.

Зв’язний простір

Розглянемо безліч лінійних форм, заданих на - мірному лінійному просторі . Введемо операції складання і множення форм. Покладемо що за визначенням:

Означення. Нульовою формою називатимемо форму, всі коефіцієнти якої рівні нулю.

Легко показати, що безліч всіх лінійних форм з вказаними операціями є лінійним простором.

Означення. Лінійний простір, векторами якого є лінійні форми задані на просторі , називається простором зв’язним до .

При додаванні лінійних форм додаються рядки їх коефіцієнтів, при множенні форми на число всі її коефіцієнти множаться на це число. Отже, простір , зв’язний до , має розмірність, рівну довжині рядка з коефіцієнтів форми, тобто рівну розмірності простору .

Якщо простори і розглядають одночасно, то вектори з контраваріантними, а вектори з - коваріантними.