3. Для розв’язання задачі № 3 використовуються формули з теми «Приклади законів розподілу дискретних випадкових величин. Біноміальний розподіл»

Приклад

Подія в експерименті може відбутися з ймовірністю . Експеримент проводиться разів. Число появи події в експерименті є випадковою величиною. Скласти закон розподілу випадкової величини – появи події в експериментах разів. Побудувати багатокутник розподілу. Знайти числові характеристики.

Розв’язання

	0	1	2	3	4	5	6

де ,

Тобто, закон розподілу ВВ має вигляд

	0	1	2	3	4	5	6

Знайдемо числові характеристики за відомими формулами:

4. Для розв’язання задачі № 4 використовуються формули з теми «Дискретні випадкові величини. Функція розподілу. Числові характеристики»

Приклад

Задано закон розподілу випадкової величини у вигляді таблиці.

Необхідно: 1) знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення та моду;

2) знайти аналітичний вигляд функції розподілу і побудувати її графік;

3) накреслити багатокутник розподілу і показати на ньому математичне сподівання, середнє квадратичне відхилення та моду.

	–3	–1	0	1	4
	0,3	0,1	0,2	0,1	0,3

Розв’язання

1) Знайдемо числові характеристики за відомими формулами:

2)

5. Для розв’язання задачі № 5 використовуються формули з теми « Неперервні випадкові величини. Інтегральна та диференціальна функції розподілу. Числові характеристики»

Приклад

Неперервна випадкова величина задана інтегральною функцією.

Необхідно знайти

1. ймовірність попадання випадкової величини в інтервал

2. щільність розподілу ймовірностей випадкової величини ,

3. математичне сподівання і дисперсію випадкової величини .

Побудувати графіки функцій і

Розв’язання

1) Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал обчислюється за формулою:

, тоді

2) Диференціальною функцією розподілу називають похідну від інтегральної функції, тобто

. Знайдемо похідну від функції :

3) Числові характеристики обчислимо за відомими формулами:

Побудуємо графіки функцій і .

6. Для розв’язання задачі № 6 використовуються формули з теми «Нормальний розподіл неперервної випадкової величини»

Приклад

Математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини дорівнює , середнє квадратичне відхилення . Необхідно

1. написати функцію щільності розподілу і побудувати її графік за характерними точками;

2. знайти ймовірність того, що випадкова величина набуває значення, яке належить інтервалу ;

3. знайти ймовірність того, що відхилення випадкової величини від математичного сподівання за абсолютною величиною менше .

Розв’язання

1) Неперервна випадкова величина називається розподіленою за показниковим законом, якщо щільність розподілу має вигляд:

де а - математичне сподівання, - середнє квадратичне відхилення,

тоді

.

Побудуємо графік функції за характерними точками:

точка максимуму ,

точки перегину , ,

Інтервал

2) Ймовірність попадання у заданий інтервал нормально розподіленої величини Х визначається за формулою

де Ф(х) – інтегральна функція Лапласа, значення якої знаходимо в таблиці. Вона є непарною функцією, тобто Ф(-х) = -Ф(х), і для всіх значень х > 5 Ф(х) = 1.

Отже,

3) Ймовірність відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання за абсолютним значенням не більше, ніж на задану величину , обчислюється за формулою

Отже,

, тоді