Приклад розв’язання контрольної роботи.

1. Для розв’язання задачі № 1 використовуються формули з тем «Основні поняття та формули теорії ймовірностей», «Формула Бернуллі та її граничні випадки».

Приклад

1) В групі 12 студентів, серед яких 8 відмінників. За списком навмання відбирають 9 студентів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних студентів 5 відмінників.

Розв’язання

– серед відібраних студентів 5 відмінників

, ,

,

Відповідь:

2) У папці знаходиться 12 заявок на поставку певного товару, із них 5 від місцевих підприємств, 7 – іногородніх. Секретар навмання виймає підряд три заявки. Яка ймовірність того, що всі вони від іногородніх підприємств?

Розв’язання

– поява трьох заявок від іногородніх підприємств

– перша заявка від іногородніх підприємств

– друга заявка від іногородніх підприємств

–третє заявка від іногородніх підприємств

Оскільки події залежні, тоді

Тоді

Відповідь:

3) Студент розшукує потрібну йому формулу у трьох довідниках. Ймовірність того, що формула є в першому, другому, третьому довіднику відповідно дорівнює 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того, що потрібна інформація міститься : а) тільки в одному довіднику; б) у всіх трьох довідниках.

Розв’язання

Подія – потрібна інформація міститься тільки в одному довіднику;

– потрібна інформація міститься у першому довіднику;

– потрібна інформація міститься у другому довіднику;

– у третьому довіднику.

Тоді, , тому

За умовою , тоді

, тоді

, тоді

Таким чином,

Подія – потрібна інформація міститься у всіх трьох довідниках;

Таким чином,

4) Студент знає 40 із 50 запитань програми. Знайти ймовірність того, що він відповість на два запитання, які містяться в його білеті.

Розв’язання

– студент знає два запитання білета

,

,

5) Ймовірність виграти по одному білету лотереї дорівнює . Знайти ймовірність виграшу не менше двох білетів із шести.

, , , .

Розв’язання

Знайдемо

Застосуємо формулу Бернуллі , тоді

,

Тоді . Отже,

Відповідь: .

2. Для розв’язання задачі № 2 використовуються або локальна або інтегральна теореми Лапласа.

Приклад

1) Визначити ймовірність того, що серед 400 проб руди 275 проб з промисловим вмістом заліза, якщо ймовірність промислового вмісту заліза однакова для всіх проб і дорівнює 0,7.

Розв’язання

Використовуємо локальну теорему Лапласа

,

де , ,

Тоді , таким чином,

(значення функції знаходимо за таблицею).

Відповідь

2) Відомо, що ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює . Користуючись інтегральною теоремою Лапласа, знайти ймовірність того, що подія з’явиться не менше і не більше раз :

Розв’язання

За інтегральною теоремою Лапласа, маємо

,

де , , ,

Тоді ,

Отже

(значення функції знаходимо за таблицею).