1.2. Приклади доведення тригонометричних тотожностей
№1. Довести наступні тотожності: sin2 130+ cos2 130 =1;
sin2 990+ cos2 990 =1
Ці тотожності доводяться згідно з основною тригонометричною тотожністю, оскільки значення аргументу для двох функцій є однаковим.
Використані формули: В.1.
№2. Довести тотожність sin4 α – cos4 α = sin2 α – cos2 α.
Використовуємо формулу різниці квадратів двох чисел (див. додаток Б), отримуємо:
sin4 α – cos4 α = (sin2 α + cos2 α) (sin2 α – cos2 α).
Але sin2 α + cos2 α = 1 (за В.1 ), тому
sin4 α – cos4 α = sin2 α – cos2 α (ліва частина дорівнює правій частині), що і треба було довести.
Використані формули: Б.5, В.1.
№3. Довести тотожність
sin (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = cos ( 2π + α ) - 3sin (π/2 - α )
Розглянемо ліву частину виразу (надалі- л. ч.)
sin (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = – cos α – cos α = – 2 cos α (за 27ф.);
Розглянемо праву частину (пр. ч.)
cos ( 2π + α ) – 3sin (π/2– α ) = cos α – 3 cos α = – 2 cos α (за 27ф.).
Бачимо, що спрощені вирази л. ч. і пр. ч. однакові (А=С, В=С, в даному випадку С= – 2 cos α), отже тотожність доведена.
Використані формули: В.27.
№4. Довести тотожність sin4 α + cos4 α – 1 = –2 sin2 α cos2 α.
Доведемо, що різниця між л. ч. й пр. ч. дорівнює нулю.
(sin4 α + cos4 α – 1) – ( –2sin2 α cos2 α) = (sin4 α + 2sin2 α cos2 α + +cos4 α) –1 = (sin2 α + cos2 α)2 –1 = 1 – 1 = 0
Отже А – В=0. Тотожність доведена.
Одну й ту ж саму тотожність можна доводити різними способами. Доведемо її першим способом, тобто покажемо рівність лівої та правої частин тотожності.
sin4 α + cos4 α – 1 = sin4 α + cos4 α – (sin2α + cos2α) = sin2α ·
· ( sin2α – 1)+ cos2α · ( cos2α – 1) = sin2α · (–cos2α) +cos2α ·
· ( –sin2α)= –2 sin2α cos2α. Тотожність доведена.
Використані формули: Б.1, В.1.
№5. Довести тотожність
Цю тотожність можна розглядати як пропорцію a/b =c/d. Отже необхідно довести, що ad=bc. Доведемо, що
(1 – sin α) (1+ sin α) = cos α · cos α.
Дійсно, (1 – sin α) · (1 + sin α) = 1 – sin2 α = cos2 α (з основної тригонометричної тотожності).
Доведемо цю саму тотожність, довівши, що різниця правої та лівої частин дорівнює нулю.
=
.
Тотожність доведена.
Використані формули: Б.5, В.1.
№6. Довести тотожність:
(3 sin α + 2 cos α)2 + (2 sin α – 3 cos α)2 = 13
Розглянемо л. ч.
(3 sin α + 2 cos α)2 + (2 sin α – 3 cos α)2 = 9 sin2 α + 12 cos α sin α + +4 cos2 α + 4 sin2 α – 12 cos α sin α + 9 cos2 α= 13 sin2 α+13 cos2 α= = 13 (sin2 α + cos2 α)= 13 · 1 = 13. Л. ч. дорівнює пр. ч., отже тотожність доведена.
Використані формули: Б.1, Б.2, В.1.
№7. Довести тотожність (1 – cos х) · (5 + 5 cos х) = 5 sin2 х
(1 – cos х) · (5 + 5 cos х) = (1 – cos х) · 5 · (1 + cos х) =
=5 (1– cos2 х)= 5 sin2 х. Тотожність доведена
Розглянемо іншій спосіб доведення, розкриємо дужки.
(1 – cos х) · (5 + 5 cos х) = 5 + 5 cos х – 5 cos х – 5 cos2 х =
= 5 – 5 cos2 х = 5 (1– cos2 х)= 5 sin2 х.
Використані формули: Б.5, В.1.
№8. Довести тригонометричну тотожність
sin3 α (1 + ctg α) + cos3 α (1 + tg α) = sin α + cos α
sin3 α
(1 + ctg α) + cos3 α
(1 + tg α) = sin3 α
(1 +
)
+
+ cos3 α
(1 +
)
= sin3 α
·
+ cos3 α
· ·
=
sin2 α
· (sin α + cos
α) + cos2
α · (sin α
+ cos α) = (sin
α + cos α)
· (sin2 α
+ cos2 α)=
(sin α + cos
α) · 1= sin α
+ cos α
Використані формули: В.2, В.3, В.1.
№9. Довести тотожність
Використані формули: Б.6, В.1.
№10. Довести тотожність, використовуючи
періодичність тригонометричних функцій
Використані формули: період функцій синуса та косинуса складає 2π, тангенса та котангенса π.
№11. Довести тотожність
Л. ч.
=
sin2 3α
· cos2 3α
Пр. ч.
=
sin2 3α · cos2
3α = sin2
3α · cos2
3α
Ліва частина дорівнює правій частині, отже тотожність доведена
Використані формули: періодичність функцій, В.4, В.5, В.15.
№12. Довести тотожність
=
Використані формули: В.13, В.2.
№13. Довести
Розглянемо ліву частину:
=
Використані формули: В.1, В.2.
№14. ctg2 (2π+α) sin (π+α) cos (π/2+α) = cos2 α
ctg2 (2π+α) sin (π+α) cos (π/2+α) = ctg2 α · (– sin α) · (– sin α) =
=
Використані формули: В.27, В.3.
№15. Довести тотожність ctg2 t · (1– cos 2 t) + cos 2 t = 3 cos 2 t.
ctg2 t · (1– cos 2 t) + cos 2 t = ctg2 t · (1– cos 2 t + sin2 t) + cos 2 t =
= ctg2 t
· (sin2 t
+ sin2 t)
+ cos 2 t=
+
cos 2 t
=
= 2 cos 2 t + cos 2 t= 3 cos 2 t
Використані формули: В.16, В.1, В.3.
№16. Довести cos 4 · cos 6 – sin 1 · sin 3 = cos 7 · cos 3
Доведемо, що різниця між лівою та правою
частинами рівна нулю. cos
4 · cos 6 – sin
1 · sin 3 –
cos 7 · cos 3 =
=
=
=
Використані формули: В.25, В.23.
№17. Довести
Л. ч. :
Пр. ч. :
Тотожність доведена
Використані формули: В.7, В.8, В.19, В.15.