48. Групповой код. Проверочная матрица, синдром ошибки. Условия обнаружения и исправления ошибок. Таблица декодирования.

Вторым способом задания группового кода является проверочная матрица

где Ik − единичная квадратная матрица ранга k, построенная на позициях контрольных символов;

транспонированная матрица контрольных символов, построенная на позициях информационных символов. Проверочная матрица дает связь между информационными и контрольными символами. На этой основе можно построить кодер. Кроме того, она используется для обнаружения и исправления ошибок. Ошибочная комбинация группового кода может быть представлена как где β – безошибочная комбинация; l − двоичная последовательность (комбинация ошибки) длины n, содержащая единицы только в тех разрядах, которые искажены. При отсутствии ошибок имеем

Двоичная последовательность D= d1d2… dk называется синдромом (опознавателем) ошибки. Если синдром состоит из одних нулей, комбинация считается безошибочной. Ненулевая величина синдрома говорит о наличии ошибки. Число ненулевых синдромов равно 2 в степени k −1. Ошибку l можно исправить, если ей соответствует индивидуальный синдром. Если разным ошибкам отвечает один и тот же синдром, то они не различаются и их можно только обнаружить. Вместо (2.1) и (2.2) набор синдромов удобно получать непосредственно из проверочной матрицы. В матрице Hk,n i-й столбец представляет собой синдром одиночной ошибки в i-м разряде кодовой комбинации. Остальные синдромы находят поразрядным суммированием по модулю 2 столбцов проверочной матрицы в различных сочетаниях. Если код исправляет ошибки, то полученные синдромы сводятся в таблицу декодирования. В ней приводятся комбинация ошибки l, вид синдрома D и действие декодирующего устройства: выдача принятой комбинации получателю при нулевом синдроме, стирание принятой комбинации при обнаружении факта наличия неисправляемых кодом ошибок, исправление i-го разряда в принятой комбинации при получении синдрома, соответствующего ошибке в i-ом разряде. Поскольку получателю выдаются только информационные разряды, исправление ошибок в контрольных разрядах обычно не производится.

Пример 2. Составим проверочную матрицу и набор синдромов для груп-пового кода (2,4) из примера 1. Матрица контрольных символов

В данном примере двум разным одиночным ошибкам соответствует оди-наковый синдром D=10. Поэтому код (2,4) не обеспечивает исправление одиночной ошибки. Так как двойной ошибке l = l1l2l3l4 → 0110 отвечает нулевой синдром D=00, то данный код не позволяет обнаруживать все двойные ошибки.

49. Код Хемминга.

Код Хемминга строится на основе уравнений для формирования кон-трольных символов. Один из способов его построения состоит в следующем.Составляется таблица, в которой приводятся номера разрядов комбинации β,соответствующие им символы по Хеммингу и запись номеров разрядов в двоичной системе счисления. Эта таблица формализует составление уравнений для формирования контрольных символов.Например, при m=2 и k=3 имеем таблицу кодирования по Хеммингу

Код Хемминга (n,m) при d = 4 и k = n-m строится на базе кода(n -1,m) с d = 3 путем добавления одного k-го разряда с общей проверкой на четность. Например, применительно к рассмотренной таблице кодирования получим