Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины

§ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ТЕРМИНОЛОГИЯ И ПРИМЕРЫ

Def. Величина f (x) называется бесконечно малой при xa, если lim f (x )  0 .

x a

(Обозначается : f (x) =  (1), читается : f (x) есть О-малое от единицы или f (x) есть бесконечно малая величина).

f (x) =  (1) : 								a D( f )  0 Va x D(f )  xV a  f (x) .
*. Cуществование конечного предела lim f (x )  b равносильно утверждению, что
								x a
функция			(x)  f (x)  b есть бесконечно малая величина при x a.
*. Если			lim f (x )  b				то	f (x)  b (x) , где  (x) =  (1)	при x a.
			x a
Примеры :
10. f (x )  x  sin					1	.	Для указанной функции f (x) =  (1)		при x  0 .
					x
20. x n		1n		. Для данной последовательности xn =  (1) при n.
			n
Def.	Если lim f ( x)  , то величина f (x) называется бесконечно большой величиной.
			xa

*. Если функция имеет предел равный +  или -  , то она является бесконечно большой, но бесконечно большая величина не обязательно стремиться к бесконечности

определенного знака, т.е.: lim f ( x)   lim f ( x)   lim f ( x)  .
		x a	x a	x a
Примеры :
10. x n		 1n  n Для данной последовательности		lim x n  бесконечно большая
				n
величина.
20. x	n	 n1n . Элементы этой последовательности 1, 2, 1/3, 4, 1/5, 6,…

Величина не ограниченна, хотя бесконечно большой не является.

Def. Числовая функция называется ограниченной сверху, снизу, ограниченной если таковым является еѐ множество значений.

f ( x) ограничена сверху	 M	x  D( f )		f ( x )  M
f ( x) ограничена снизу	 m	x  D( f )		f ( x )  m
f ( x) ограничена	 m,M	x  D( f )		m  f ( x )  M
	 A	x  D( f )				f (x)		 A
f (x) неограничена сверху	 M	 x  D( f )				f (x)  M
f (x) неограничена снизу	 m	 x  D( f )				f (x)  m
f (x) неограничена					 A
	 A  x  D( f )		f (x)

 M  x  D( f ) f ( x )  M  m x  D( f ) f ( x )  m .

Def. Числовая функция называется ограниченной …. на множестве X , если таковым является еѐ сужение на множество X .

Сужение : f (x)_X = f (x) x  D( f |_x)  D( f ) X ).

Def. Функция f ( x) называется (финально) ограниченной … в точке a сгущения еѐ

области определения если V _a на которой функция ограничена …

f (x) ограничена …  ограничена в любой точке и на любом множестве.

f (x) неограничена … в некоторой точке или на некотором множестве

 неограниченна.

В данном определении вместо многоточия указывается характер ограниченности (сверху, снизу, … ).

Ограниченность функции обозначается f (x) = O (1), (читается : f (x) есть О-большое от единицы или f (x) есть ограниченная величина).

Примеры :

1⁰. f ( x)  sin ¹_x .

ограничена сверху, снизу, ограничена сама по себе, в любой точке на любом множестве.

20. f (x) 		1	.
		x
На (0,1)  ограничена снизу, неограниченна сверху.
На [1,100)  ограничена сверху, ограничена снизу, ограничена.
На [-1,1]  неограничена сверху, неограничена снизу, неограничена.
Def.	Величина			f ( x) называется отделенной от нуля если
							
					  0 x  D( f )	f (x)
Def.	Функция			f ( x)	называется отделенной от нуля на множестве X если таково еѐ
сужение на X .
Def.	Функция			f ( x)	финально отделена от нуля в точке x  a если V a			такая, что

функция отделена от нуля в этой проколотой окрестности.

*. Функция отделена от нуля  отделена от нуля на любом подмножестве и в любой точке. Но…отделена от нуля в каждой точке не обязательно отделена от нуля.

*. Ненулевая бесконечно малая не отделена от нуля.

*. Функция, имеющая в точке ненулевой предел финально отделена от нуля в этой точке.

*. Если f ( x) отделена от нуля 	1	 ограничена.
	f (x)

Примеры :

1⁰. f ( x ) 1 x ² (место для рисунка) отделена от нуля.

2⁰. f (x) = x² Для x  0 функция финально отделена от нуля.

§ ЛЕММЫ О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

1⁰.Сумма конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая. 2⁰.Произведение бесконечно малой на ограниченную есть величина бесконечно малая. 3⁰.Величина арифметически обратная к бесконечно большой есть бесконечно малая, а арифметически обратная к бесконечно малой есть бесконечно большая.

∆ 1⁰. Пусть a  точка сгущения для D(f ) и D(g) и, кроме того f (x) =  (1) и g(x) =  (1).



Тогда

lim f (x )  00Ua

x  D( f ) U a

f (x )



,

2

x a



и

lim g(x )  0

 0 V a

x  D(g) Va

g(x )



.

2

x a

Теперь возьмѐм W a

 U a

Va .

Получим





 0 W a

x  D( f )  D(g) W a

f (x )  g(x )



f (x )



g(x )







2

2

что и т. д.

2⁰.Теперь пусть

lim

x a

Вновь возьмѐм Тогда

 0 W _a

g(x) = О (1) и f (x) =  (1) .

g(x )

 A ,

А V a

x  D(g) Va

f (x )  0



.

 0 U a x  D( f )

U a

f (x )



A

W a

 U a

Va .



 что и т. д.

x  D( f )  D(g) W a

f (x )  g(x )



f (x )



g(x )

 A 

A

30.f (x) =  (1)  lim f ( x)  0 . Получаем
x a
					1
  0 U a	x D( f ) U a		f (x )			 . что и т. д.▲
					f (x )
§ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Т. Если существуют и конечны пределы стоящие справа в следующих равенствах, то также существуют и конечны пределы, стоящие слева и равенства выполняются :

10. lim( f ( x)  g( x)) 

lim f ( x)  lim g( x) ,

xa

xa

xa

20. lim f (x)  g( x) 

lim f ( x)  lim g( x) ,

xa

xa

xa

30. lim

f ( x)

lim f ( x)



xa

если lim g(x )  0 .

xa

g( x)

lim g( x)

x a

xa

∆ 10. Пусть lim f (x )  b , lim g ( x )  c .

x a

x a

Тогда f (x )  b  (x ) и

g(x )  c 

(x ) , где  (x ) (1)



(x ) (1) .

1

2

1

2

Следовательно

f (x )  g(x )  b  c  (x ) 

(x )  b  c (x ) и (x) бесконечно

1

2

мала .

Значит lim( f (x)  g(x))  b  c  lim f (x) lim g(x) .

x a

x a

x a

20,30 доказываются аналогично.

▲

Т. (о пределе сложной функции).

Пусть lim g(x)  b ;

lim f ( y)  c . Тогда lim f ( y)  lim f (g(x)) .

x a

yb

y b

x a

lim f ( y)  c

b  D( f )

∆ По условию теоремы



Uc

Vb

f (Vb )  U c

,

yb

lim g(x )  b

a  D(g)



Ub

W a

g(W a )  U b .

x a

Получаем

a D( f g)

 Uc

W a

( f

g)(W a )  f (g(W a )) U c

 lim f (g(x))  c

x a

что и т. д.▲

Def. Действия с несобственными элементами :

* a 

* ()  () 

* a   

* ()  ( )  * ()  () 

* 

* a  (если a  0 )

*  () 

* ()  a   е. a  0 ,  е. a  0 

*

a



a

 0

*

a

 е. a  0

*

a

  0 е. a  0 ,

0 е. a  0

.





0



• Докажем например что  () 

Пусть lim f (x) 

и lim g (x) 

x a

x a

Тогда

f (x )

 ,

 0

U a

x  D( f ) U a

и

g(x )

 .

 0 V a

x  D(g) Va

Теперь возьмѐм

W a

 U a

Va .

Получим

f (x )  g(x )  2 что и т. д.

 0 W a

x  D( f )

 D(g) W a

аналогично доказываются остальные соотношения.▲

Введя операции над несобственными элементами, обратим внимание на то, что не всяким действиям с несобственными элементами даны определения. В таких случаях говорят, что мы имеем дело с неопределенностями. Неопределенностями они называются потому, что результат этих действий может быть различным в зависимости от величин учавствующих в операции.

Рассматривается (пока) четыре типа неопределѐнностей:

,0,		,	0	.
			0

Первые две неопределѐнности сводятся, путем арифметических преобразований, к последним двум, а для раскрытия последних двух предназначено правило Лопиталя:

Правило Если функции и обе стремятся к нулю или бесконечности, то предел отношения функций равен пределу отношения производных этих функций, если предел

стоящий справа существует и конечен.	lim	f (x)	 lim	f (x )	.	∆ ▲
	x a	g (x)	x a	g(x )

Конечно, такая формулировка правила Лопиталя, мягко говоря, оставляет желать лучшего. Аккуратная формулировка и доказательство этого, очень важного и удобного в применении правила будет приведено несколько позже, по мере нашей готовности к этому. Формулировка же приводится для того, чтобы позволить применять это правило, пусть и в весьма приблизительном виде, для вычисления пределов.