12. Интегрирование рациональных дробей.

Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то   - рациональная дробь.

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как   является правильной дробью.

 

         Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:

1)  ,      2)  ,    3)  ,     4)           .

 

Выясним, каким образом они интегрируются.

1)   

2)    

3)     (изучен ранее).

 

         

 

Интегрирование рациональных дробей.

 

 

Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Доказательство.

Представим рациональную дробь   в виде:   . При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 5 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей.  Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S(x) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.

 

Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.

 

         Пример 1. Найти интеграл 

         Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью. Разложение на неприводимые сомножители знаменателя имеет вид   Это означает, что разложение подынтегральной функции в сумму простейших дробей имеет следующий вид:

 

Найдем коэффициенты разложения комбинированным методом:

                 

Таким образом,

 

13. Асимптоты графика функции

Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции, при этом он должен бесконечно далеко удаляться от начала координат.

Примечание: определение содержательно, если вам необходима формулировка в терминах и обозначениях математического анализа, пожалуйста, обратитесь к учебнику.

На плоскости асимптоты классифицируют по их естественному расположению:

1) Вертикальные асимптоты, которые задаются уравнением вида  , где «альфа» – действительное число. Популярная представительница   определяет саму ось ординат,  вспоминаем гиперболу  .  

2) Наклонные асимптоты традиционно записываются уравнением прямой с угловым коэффициентом  . Иногда отдельной группой выделяют частный случай –горизонтальные асимптоты  . Например, та же гипербола с асимптотой  .

Пример 1

Найти асимптоты графика функции

Решение удобно разбить на два пункта:

1) Сначала проверяем, есть ли вертикальные асимптоты. Знаменатель обращается в ноль при  , и сразу понятно, что в данной точке  функция терпит бесконечный разрыв, а прямая, заданная уравнением  , является вертикальной асимптотой графика функции  . Но, прежде чем оформить такой вывод, необходимо найти односторонние пределы:

Напоминаю технику вычислений, на которой я подобно останавливался в статьеНепрерывность функции. Точки разрыва. В выражение под знаком предела вместо «икса» подставляем  . В числителе ничего интересного: .

А вот в знаменателе получается бесконечно малое отрицательное число:  , оно и определяет судьбу предела.

Левосторонний предел бесконечный, и, в принципе уже можно вынести вердикт о наличии вертикальной асимптоты. Но односторонние пределы нужны не только для этого – они ПОМОГАЮТ ПОНЯТЬ, КАК расположен график функции и построить его КОРРЕКТНО. Поэтому обязательно вычислим и правосторонний предел:

Вывод: односторонние пределы бесконечны, значит, прямая   является вертикальной асимптотой графика функции при  .