Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка:   – это иррациональное число.

В качестве параметра   может выступать не только переменная  , но и сложная функция.Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 6

Найти предел 

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение   , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений.

Нетрудно заметить, что при   основание степени  , а показатель –  , то есть имеется, неопределенность вида  :

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр  , значит, в показателе нам тоже нужно организовать   . Для этого возводим основание в степень  , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень  :

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву  :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель:

Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.

Пример 7

Найти предел 

Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.

Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена неопределенность  . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида  . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас  , значит, в числителе тоже нужно организовать  :

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Вроде бы основание стало напоминать  , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:

Таким образом, основание приняло вид  , и, более того, появилась нужная нам неопределенность  . Организуем второй замечательный предел  . Легко заметить, что в данном примере  . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в  , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь  :

Наконец-то долгожданное   устроено, с чистой совестью превращаем его в букву  :

15. Непрерывность и точки разрыва. Предел функции в точке.

Определение 3.2   Точка   называется точкой разрыва функции  , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки   (то есть определена на некотором интервале, для которого   служит внутренней точкой, но в самой точке  , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) не существует предела слева  ;

2) не существует предела справа  ;

3) пределы слева   и справа   существуют, но не равны друг другу:  ;

4) пределы слева   и справа   существуют и равны друг другу:  , но не совпадают со значением функции в точке  :  , или функция   не определена в точке  .

Если имеет место либо случай 3, либо случай 4, то точка разрыва   называетсяточкой разрыва первого рода, а поведение функции в окрестности точки   называетсяразрывом первого рода в точке  ; в случае 4 точка разрыва первого рода называетсяустранимой точкой разрыва, а разрыв функции в этой точке -- устранимым разрывом.

Если же имеет место либо случай 1, либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва   называется точкой разрыва второго рода, а поведение функции в окрестности этой точки -- разрывом второго рода в точке  .     

Итак, если функция   имеет разрыв первого рода в точке  , то существуют, как часто говорят, значения функции "на берегах разрыва":   и  , но точка   не является точкой непрерывности. 

Рис.3.2.  -- точка разрыва первого рода

Если значения на берегах разрыва разные, то значение функции в точке   может быть любым (или вообще отсутствовать), всё равно   будет давать разрыв первого рода. Если же значения на берегах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке  , либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию   в точке  , положив  , то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке   и разрыв в точке   исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый. 

Рис.3.3.  -- точка устранимого разрыва

Наконец, к разрывам второго рода, как видно из определения, относятся все разрывы, которые не принадлежат к разрывам первого рода; некоторые из возможных способов поведения функции в окрестности точки  , где происходит разрыв второго рода, представлены на следующем рисунке. 

   

Рис.3.4.  -- точка разрыва второго рода. Некоторые возможные варианты

        Пример 3.3   Рассмотрим функцию  , для которой

Функция имеет разрывы при   и при  . Нетрудно видеть, что при     В точках   и  функция имеет неустранимые разрывы первого рода. В точке   имеем:

(значения на краях разыва существуют, но не совпадают); в точке   --

(снова пределы слева и справа существуют, но не совпадают).     

Рис.3.5.График функции