Принцип математической индукции.
Для перехода от частных результатов, справедливых для отдельных значений n, к общим, верным при всех n, пользуются принципом математической индукции. Имеется некоторое утверждение А, зависящее определенным образом от натурального аргумента n, который принимает все целые положительные значения, начиная от р. Чтобы доказать справедливость утверждения А, поступают следующим образом:
1. убеждаются в справедливости А при n=р;
2. предполагают, что А верно при всех n, для которых p< n≤ k;
3. используя п.1 и 2, доказывают, что утверждение А справедливо при n=k+1.
Выполнение требований 1 – 3 позволяет от значения n=p, которое берется минимальным из всех возможных, шаг за шагом переходить к значениям р+1, р+2 и т.д. Поэтому считают, что выполнение требований 1 – 3 влечет за собой справедливость утверждения А для всех n > р. Это одна из аксиом натуральных чисел. Она называется аксиомой индукции.
В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n ≥ p, где p-фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом:
Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k)→ А(k+1) для любого k ≥ p, то предложение А(n) истинно для любого n ≥ p.
4. Собственный интеграл.
Определенный
интеграл
Бесконечные пределы интегрирования Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:
Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как
Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся. Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение
Если
для некоторого действительного
числа c оба
интеграла в правой части сходятся, то
говорят, что интеграл Теоремы сравнения
Пусть f (x) и g (x) является
непрерывными функциями в интервале [a,
∞). Предположим,
что
1.
Если
2. Если расходится, то также расходится;
3.
Если
Интеграл от разрывной функции Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случаенесобственный интеграл определяется в виде
Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда
Если
приведенные выше пределы существуют
и конечны, то говорят, что соответствующие
несобственные интегралы сходятся.
В противном случае они
считаются расходящимися.
Пусть f (x) непрерывна
для всех действительных x в
интервале [a,b], за
исключением некоторой точки
и
говорят, что несобственный
интеграл |
Пример |
|
Определить,
при каких значениях k интеграл Решение. Используя определение несобственного интеграла, можно записать
Из этого выражения видно, что существует 2 случая:
|
называется несобственным
интегралом,
если выполняется, по крайней мере,
одно из следующих условий:
также
сходится; в противном случае он
расходится. 
для
всех x в
интервале [a,
∞).
сходится,
то 
также
сходится;
сходится,
то
также
сходится. В этом случае говорят, что
интеграл
является абсолютно
сходящимся.
.
Тогда справедливо соотношение
сходится,
если оба интеграла в правой части
верхнего равенства сходятся. В противном
случае несобственный интеграл
расходится. 
сходится.
при 
и
интеграл расходится;
при
и
интеграл сходится.