6. Предел функции. Основные свойства предела.

Предел функции обозначается как   или через символ предела:  .  Всюду ниже предполагается, что пределы функций   существуют.  Предел суммы Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций: Расширенное правило суммы Предел постоянной величины Предел постоянной величины равен самой постоянной величине: Предел произведения функции на постоянную величину Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела: Предел произведения Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют): Расширенное правило произведения Предел частного Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю: Предел степенной функции где степень p - действительное число. В частности, Если f ( x ) = x, то Предел показательной функции где основание a > 0.  Предел логарифмической функции где основание a > 0.  Теорема "о двух милиционерах" Предположим, что   для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точкиx = a. Тогда, если то То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L.

Пример

Найти предел  . Решение.

7. Применение производной для нахождения промежутков монотонности функции. Экстремум функции. Связь монотонности функции с ее производной

Теорема

(Об условии возрастания/убывания монотонной функции)

Если производная функции   на некотором промежутке  , то функция   возрастает на этом промежутке; если же   на промежутке  , то функция   убывает на этом промежутке.

Замечание

Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то  или не существует.

Пример

Задание. Исследовать функцию   на монотонность на всей числовой прямой.

Решение. Найдем производную заданной функции:

Для любого действительного  :  , а поэтому делаем вывод, что заданная функция возрастает на всей действительной оси.

Ответ. Функция   возрастает на всей действительной оси.

Понятие экстремума функции

Определение

Точка   называется точкой локального максимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности выполняется неравенство:  .

Точка   называется точкой локального минимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности  .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума -локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка   называется точкой строгого локального максимума функции  , если для всех   из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство  .

Точка   называется точкой строгого локального минимума функции  , если для всех   из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство  .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.