Правила Лопиталя
Теорема 21.1
Пусть
функции 
определены
в проколотой окрестности 
,
и их пределы 
;
существуют их производные 
в 
,
причем 
,
и существует предел отношения производных,
равный K (этот предел может быть и
бесконечным). Тогда существует предел
отношения функций, также равный K, т.е. .
Доказательство.
Положим
по определению (доопределим или
переопределим) 
.
Получим, что 
.
Значит, они непрерывны и в проколотой
окрестности точки
: 
,
так как 
. 
,
иначе по теореме Лагранжа 
,
и 
,
что противоречит условию. Значит, можно
применить теорему Коши: 
.
Так как 
,
при 
также 
.
Значит, 
.
Данное
правило раскрывает неопределенность 
в
конечной точке
.
Теорема 21.2
Пусть 
существуют
в окрестности бесконечности, причем
,
пределы 
,
и существует 
.
Тогда существует 
.
(Бесконечность может быть любой).
Доказательство.
Введем
переменную 
.
Тогда 
.
Обозначим 
.
Эти функции непрерывны и имеют
производные: 
.
По условию 
. 
при 
,
следовательно, по теореме 21.1 
.
Данное правило раскрывает неопределенность в бесконечно удаленной точке.
Теорема 21.3
Пусть
существуют
в проколотой окрестности 
; 
,
и 
.
Тогда 
.
Без доказательства.
Теорема 21.4
Пусть
существуют
в проколотой окрестности
; 
,
и 
.
Тогда
.
Без доказательства.
Применение.
Пример
1. Найти 
.
Данный
предел представляет собой неопределенность
вида 
.
Преобразуем его, получим при этом
неопределенность вида 
: 
.
Пример
2. Найти 
.
Преобразуем 
.
Значит, 
.