Вопросы к экзаменам по «математике для экономистов» 3 курс

1. Понятия первообразной. Определенный интеграл.

2. Понятие последовательности и ее предел.

3. Понятие полной и неполной индукции, принцип математической индукции.

4. Несобственный интеграл.

5. Понятие функции. Основные свойства функции.

6. Предел функции. Основные свойства предела.

7. Применение производной для нахождения промежутков монотонности функции. Экстремум функции.

8. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций.

9. Производные сложной функции, обратной функции и логарифмической функции.

10. Определение производной. Производные основных элементарных функций.

11. Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла.

12. Интегрирование рациональных дробей.

13. Асимптоты графика функций.

14. Замечательные пределы.

15. Непрерывность и точки разрыва. Предел функции в точке.

16. Основные правила дифференцирования.

17. Необходимые и достаточные условия существования предела функции.

18. Наибольшие и наименьшие значения функции.

19. Число е. замечательные пределы. Односторонние пределы.

20. Определенный интеграл, его геометрический смысл.

21. Исследование функции с помощью производной.

22. Геометрический смысл производной.

23. Методы интегрирования неопределенного интеграла.

24. Неопределенный интеграл и его свойства.

25. Формула Ньютона – Лейбница.

26. Площадь криволинейной трапеции.

27. Общая схема исследования функции.

28. Определение предела функции. Применение основных теорем.

29. Интегрирование по частям.

30. Сочетания. Размещения и перестановки.

31. Вогнутость и выпуклость функции. Точка перегиба.

32. Замена переменной в определенном интеграле.

33. Теорема Ферма. Роля. Лагранжа. Раскрытие неопределенности. Правило Лапиталя.

1. Понятие первообразной. Определенный интеграл

 

  Определение 1: Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка выполняется такое равенство

F’(x)=f(x)

F(x)=x³/3 f(x)=x²

F’(x)=(x³/3^)’=3x²/3=x²=f(x)

Геометрическим смыслом производной от первообразной является угловой коэффициент касательной к этому графику (т.е. кривой) в точке с абсциссой х.

Геометрически найти первообразную для функции f(x), значит найти такую кривую y=F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x) заданной функции в этой точке.

Если F₁(x) и F₂(x) – первообразны для функций f(x) на некотором промежутку х, то найдется такое число С, то будет справедливо равенство:

F₂(x)= F₁(x)+C

Совокупность всех первообразных для функций F(x) на промежутке х называется неопределенный интеграл от функции f(x) и обозначается

• -знак интеграла

f(x) - подинтегральная функция

f(x)dx - подинтегральное выражение

Таким образом, по определению,

Определенный интеграл:

y=f(x), x=a, x=b, Ox

S_n≈S, S_n→S, n→∞

Фигура ABCD, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), с 2-х боковых сторон прямыми х=а, х=в, а снизу-осью Ох называется криволинейной трапецией.

Отрезок ab-основание криволинейной трапеции

Сумма площадей n-прямоугольников, составляющая S криволинейной трапеции.

Сумма площадей этих прямоугольников-определенный интеграл

S=_a∫^b f(x)dx

Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции. Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.

Пример.

Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы  . Появившуюся константу   целесообразно отделить от   и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница  . Сначала подставляем в   верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

2. Понятие последовательности и ее предел.

 Последовательность — это функция натурального аргумента.

Последовательности вида:

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

  или  

иногда используются фигурные скобки:

.

Пример: числовые последовательности:

1) 1,2,…, n,…;

2) 1,-1,1,-1,…,(-1)n,…;

3) 1,1/2,1/3,…,1/n,….

Опр. Число а называется пределом последовательности  , если для каждого  >0 существует такой номер   , что для всех    выполняется неравенство: 

Если а — предел последовательности, то пишут:  ...

Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся.

Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Из определения следует, что последовательность   имеет предел, равный а, тогда и только тогда, когда последовательность   имеет предел, равный нулю, т. е.:

Пример: Пользуясь определением, найти предел последовательности  , если:

.

решение:

Докажем, что   . Так как   , то  . Возьмем произвольное число   . Неравенство    будет выполняться, если  . Выберем в качестве    какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию   , например, число   . Тогда для всех    будет выполняться неравенство   . По определению предела это означает, что   .