Пример 6
Дана плоская фигура,
ограниченная линиями
,
и осью OX.
1) Перейти к обратным функциям и найти интегрированием по переменной y площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
2) Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси OY.
Правильный ответ:
Это пример для самостоятельного решения. Полное же решение двух предложенных пунктов задания в конце урока.
Да, и не забывайте наклонять голову направо, чтобы разобраться в телах вращения и в пределах интегрирования!
Пример 7
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной кривыми
;
.
Решение: Выполним чертеж:
Попутно знакомимся с графиками некоторых других функций. Такой вот интересный график чётной функции
….
Для цели нахождения объема тела вращения достаточно использовать правую половину фигуры, которая заштрихована синим цветом. Обе функции являются четными, их графики симметричны относительно оси OY, симметрична и наша фигура. Таким образом, заштрихованная правая часть, вращаясь вокруг оси OY, непременно совпадёт с левой незаштрихованной частью.
Перейдем к обратным функциям, то есть выразим «иксы» через «игреки»:
Обратите внимание, что
правой ветке параболы y
= x2
соответствует обратная функция
.
Левой неиспользуемой ветке параболы
соответствует обратная функция
.
В таких случаях нередко возникают
сомнения, какую же функцию выбрать?
Сомнения легко, развеиваются, возьмите
любую точку правой ветки и подставьте
ее координаты в функцию
.
Координаты подошли, значит, функция
задает именно правую ветку, а не левую.
К слову, та же история и с функций
.
Не всегда бывает сразу понятно, какую обратную функцию выбрать:
или
.
В действительности мы всегда страхуемся, подставляя в найденную обратную функцию пару точек графика. Теперь наклоняем голову вправо и замечаем следующую вещь:
– на отрезке [0; 1] над осью OY расположен график функции ;
– на отрезке [1; 2] над осью OY расположен график функции .
Логично предположить, что объем тела вращения нужно искать уже как сумму объемов тел вращений. Используем формулу:
В данном случае:
Ответ:
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: Выполним чертеж:
Объем тела вращения:
Ответ:
Пример 4: Решение:
1) Выполним чертеж:
Объем тела вращения вычислим как разность объемов при помощи формулы:
В данном случае:
Ответ:
Примечание: Обратите внимание на использование свойства линейности – в данном случае при интегрировании выгодно превратить два интеграла в один. Это можно сделать, поскольку константы перед интегралами и пределы интегрирования одинаковы, а затем использовать формулу косинуса двойного угла.
Пример 6: Решение:
1) Выполним чертёж:
Перейдем к обратной функции:
На отрезке
[-ln2;
0],
,
поэтому:
Ответ:
2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси OY.
Объем тела вращения найдем как разность объемов тел вращения при помощи формулы :
Ответ:
