Пример 5
Дана плоская фигура,
ограниченная линиями
,
,
.
1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси OY.
Внимание! Даже если вы хотите ознакомиться только со вторым пунктом, сначала обязательно прочитайте первый!
Решение: Задача состоит из двух частей. Начнем с определения площади.
1) Выполним чертёж:
Легко заметить, что функция задает верхнюю ветку параболы, а функция – нижнюю ветку параболы. Перед нами парабола, которая «лежит на боку».
Нужная фигура, площадь которой предстоит найти, заштрихована синим цветом.
Как найти площадь фигуры? Её можно найти «обычным» способом, который рассматривался в разделе: 7.2.3. Как вычислить площадь фигуры. Причем, площадь фигуры находится, как сумма площадей:
- на отрезке [0; 1],
;
– на отрезке [1; 4],
.
Поэтому:
.
Чем в данном случае плох обычный путь решения? Во-первых, получилось два интеграла. Во-вторых, под интегралами корни, а корни в интегралах – не подарок, к тому же можно запутаться в подстановке пределов интегрирования. На самом деле, интегралы, конечно, не убийственные, но на практике всё бывает значительно печальнее, просто мы подобрали для задачи функции «получше». Есть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси OY.
Как перейти к обратным функциям? Просто нужно выразить «икс» через «игрек». Сначала разберемся с параболой:
.
Этого достаточно, но убедимся, что такую же функцию можно вывести из нижней ветки:
.
Для самопроверки рекомендую
устно или на черновике подставить
координаты 2-3-х точек параболы в уравнение
,
они обязательно должны удовлетворять
данному уравнению. С уравнением прямой
линии всё проще:
.
Теперь смотрим на ось OY
и, пожалуйста, периодически наклоняйте
голову вправо на 90 градусов по ходу
объяснений (это не шутка!). Нужная нам
фигура лежит на отрезке [2; 5], оси OY,
который ограничен красными пунктирами.
При этом на отрезке [2; 5] прямая
расположена выше параболы
,
то есть площадь фигуры следует найти
по уже знакомой вам формуле:
.
Что поменялось в формуле? Только буква, и не более того.
Примечание: Пределы интегрирования по оси OY расставлять строго снизу вверх!
Находим площадь:
На отрезке [2; 5],
,
поэтому:
.
Для читателей, сомневающихся в корректности интегрирования, найдём производные:
.
Получена исходная подынтегральная функция, значит интегрирование выполнено правильно.
Ответ:
2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси OY.
Перерисуем чертеж немного в другом оформлении:
Итак, фигура, заштрихованная синим цветом, вращается вокруг оси OY. В результате получается «зависшая бабочка», которая вертится вокруг своей оси (ординат).
Для нахождения объема тела вращения будем интегрировать по оси OY. Сначала нужно перейти к обратным функциям. Это уже сделано и подробно расписано в предыдущем пункте. Теперь снова наклоняем голову вправо и изучаем нашу фигуру. Очевидно, что объем тела вращения, следует найти как разность объемов.
Вращаем фигуру, обведенную красным цветом, вокруг оси OY, в результате получается усеченный конус. Обозначим этот объем через V1.
Вращаем фигуру, обведенную зеленым цветом, вокруг оси OY и обозначаем через V2 объем полученного тела вращения. Объем нашей бабочки равен разности V = V1 - V2. Используем формулу для нахождения объема тела вращения:
.
В чем отличие от формулы предыдущего параграфа? Только в букве.
.
А вот и преимущество интегрирования, о котором мы говорили. Гораздо легче найти
,
чем предварительно возводить подынтегральную функцию в 4-ую степень.
Ответ:
Заметьте, что если эту же плоскую фигуру вращать вокруг оси OX, то получится совершенно другое тело вращения, другого, естественно, объема.