Пример 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями , , .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 3

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , , и .

Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , , , не забывая при этом, что уравнение x = 0 задает ось OY:

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси OX получается плоский угловатый бублик (шайба с двумя коническими поверхностями).

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел. Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси OX получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через V₁.

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси OX, то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через V₂.

Очевидно, что разность объемов, V = V₁ - V_2, - это объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

.

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

.

3) Объем искомого тела вращения:

Ответ:

Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.

Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:

Теперь немного о геометрических иллюзиях.

У людей часто возникают иллюзии, связанные с объемами, которую подметил еще Перельман (не тот, что отказался от премии, а еще в 50-60 гг.) в книге Занимательная геометрия. Посмотрите на плоскую фигуру в решённой задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 кв. метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.

Пример 4

Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси OX плоской фигуры, ограниченной линиями , , где .

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе , иными словами, даны практически готовые пределы интегрирования. Также постарайтесь правильно начертить графики тригонометрических функций. Если аргумент делится на два (x/2), то графики растягиваются по оси OX в два раза. Попробуйте найти хотя бы 3-4 точки по тригонометрическим таблицам и точнее выполнить чертеж. Полное решение и ответ в конце урока. Кстати, задание можно решить рационально и не очень рационально.

Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси oy

Второй параграф будет еще интереснее, чем первый. Задание на вычисление объема тела вращения вокруг оси ординат – тоже достаточно частый гость в контрольных работах.

Попутно будет рассмотрена задача о нахождении площади фигуры вторым способом – интегрированием по оси OY, что позволит вам не только улучшить свои навыки, но и научит находить наиболее выгодный путь решения. В этом есть и практический смысл!