Пример 19
Найти неопределенный интеграл
.
Ну, это совсем простой пример. Полные решения и ответы в конце урока.
Думаем, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:
и т.п.
В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью тождественных преобразований и тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса
.
То есть, речь идет о замене:
.
В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала.
Примечание: аналогичные рассуждения можно провести и для котангенса.
Существует и формальное правило для применения вышеуказанной замены:
Если сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное число, то интеграл можно свести к тангенсам и его производной.
Для интеграла
– целое отрицательное число.
Для интеграла
– целое отрицательное число.
Для интеграла
– целое отрицательное число.
Рассмотрим пару более содержательных примеров на это правило:
Пример 20
Найти неопределенный интеграл
.
Сумма степеней синуса и
косинуса
:
2 – 6 = –4 – целое отрицательное число,
значит, интеграл можно свести к тангенсам
и его производной:
(1) Преобразуем знаменатель.
(2) По известной формуле
получаем
.
(3) Преобразуем знаменатель.
(4) Используем формулу
.
(5) Подводим функцию под знак дифференциала.
(6) Проводим замену
.
Более опытные студенты замену могут и
не проводить, но все-таки лучше заменить
тангенс одной буквой – меньше риск
запутаться.
Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.
Пример 21
Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения.
Пример 22
Найти неопределенный интеграл
.
В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:
.
Пара творческих примеров для самостоятельного решения:
Пример 23
Найти неопределенный интеграл
.
Пример 24
Найти неопределенный интеграл
.
Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока.
Переходим к заключительному пункту путешествия в мир сложных интегралов:
Интеграл от корня из дроби
Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.
Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:
,
где a,
b,
c,
d
– числа.
Считаем, что все эти числа и коэффициенты не равны нулю.
В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.
Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.
Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:
.
Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал dx.
Выражаем «икс»:
Теперь найдем дифференциал:
Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?
Мы вывели готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида
!
Формулы замены таковы:
.
Заключительный пример: