Пример 6

Найти неопределенный интеграл

.

Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет!

Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, или его часть, то решение в любом случае сводится к двум разобранным Примерам 5 и 6.

Например, рассмотрим интеграл

.

Всё, что нужно сделать – это тождественными преобразованиями предварительно выделить полный квадрат:

.

Далее проводится линейная замена, которая обходится «без всяких последствий»:

, в результате чего получается интеграл . Нечто знакомое, правда (см. Пример 5)?

Или такой пример, с квадратным двучленом:

Выделяем полный квадрат:

И, после линейной замены , получаем интеграл , который также решается по уже рассмотренному алгоритму.

Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе:

– интеграл от экспоненты, умноженной на синус;

– интеграл от экспоненты, умноженной на косинус.

В этих перечисленных интегралах по частям придется интегрировать уже два раза:

Пример 7

Найти неопределенный интеграл

.

Подынтегральная функция – экспонента, умноженная на синус.

Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе:

В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения:

Переносим в левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл:

Готово. Попутно желательно причесать правую часть, т.е. вынести экспоненту за скобки, а в скобках расположить синус с косинусом в «красивом» порядке.

Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям:

За u мы обозначили экспоненту. Возникает вопрос, именно ли экспоненту всегда нужно обозначать за u? Не обязательно. На самом деле в рассмотренном интеграле принципиально без разницы, что обозначать за u, можно было пойти другим путём:

.

Почему такое возможно? Потому что экспонента превращается сама в себя (и при дифференцировании, и при интегрировании), синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга (опять же – и при дифференцировании, и при интегрировании).

То есть, за u можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за u, экспоненту или тригонометрическую функцию? Полное решение и ответ в конце урока.

Примеры были рассмотрены не самые сложные. На практике чаще встречаются интегралы, где константа есть и в показателе экспоненты и в аргументе тригонометрической функции, например:

.

Попутаться в подобном интеграле придется многим. Дело в том, что в решении велика вероятность появления дробей, и очень просто что-нибудь по невнимательности потерять. Кроме того, велика вероятность ошибки в знаках, обратите внимание, что в показателе экспоненты есть знак «минус», и это вносит дополнительную трудность.

На завершающем этапе часто получается примерно следующее:

Даже в конце решения следует быть предельно внимательным и грамотно разобраться с дробями: