Пример 10

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. Подсказка: здесь .

Полное решение и ответ только для выживших студентов.

Что делать, если биномиальный интеграл

не подходит ни под один из рассмотренных трех случаев? Это грустный четвертый случай. Такой интеграл является неберущимся.

Есть другие разновидности интегралов с корнями, например, когда корень является аргументом какой-либо функции. Или под корнем находится дробь. Найти такие примеры можно на странице Сложные интегралы.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Проведем замену:

Пример 4: Решение:

Проведем замену: . Навешиваем дифференциалы на обе части:

.

.

.

Вот почему дифференциалы нужно именно НАВЕШИВАТЬ на обе части и добросовестно раскрывать эти дифференциалы. Немало чайников здесь формально напишет и допустит ошибку.

Пример 6: Решение:

Замена: 

Примечание: на самом деле данное решение не совсем рационально. Перед тем, как раскладывать числитель в сумму, лучше было поменять у знаменателя знак и сразу вынести минус за пределы интеграла:

– в таком виде подбирать числитель значительно проще.

Пример 8: Решение:

, , ,

1) – целое? Нет. 2) – целое, значит у нас второй случай. Замена: , ,

Если , то .

Окончательно: .

Пример 10: Решение:

, , , , .

1) – целое? Нет.

2) – целое? Нет.

3) – целое!

Замена: , в данном случае:

.

Разбираемся с корнем. Из :

.

Тогда:

.

Оставшаяся часть подынтегрального выражения:

.

Чему равно ?

.

Окончательно:

Обратная замена. Если , то .

8.1.11. Сложные интегралы

Данная статья завершает тему неопределенных интегралов. Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений, где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в этом курсе еще не встречались.

Какие интегралы будут рассмотрены?

Сначала мы рассмотрим интегралы с корнями, для решения которых последовательно используется замена переменной и интегрирование по частям. То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма. И даже больше.

Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе. Данным способом решается не так уж мало интегралов.

Третьим номером программы пойдут такие интегралы от дробей, которых не было в предыдущих рахдела.

В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций. В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки.

И в заключении рассмотрим интеграл от корня, под которым находится дробь, а в числителе и знаменателе дроби – линейные функции.