Пример 9

Найти неопределенный интеграл

.

Заметим, что во всех примерах урока в ходе решения систем у нас получались «хорошие» целые коэффициенты A, B и C. Это происходило по той причине, что почти все интегралы были взяты из сборника задач по высшей математике для экономистов. На практике же часто будут появляться разные нехорошести.

Таким образом, если в ходе решения интеграла от дробно-рациональной функции у Вас получаются дробные значения коэффициентов A, B, C,…, то в этом нет ничего страшного, ситуация даже обыденна.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

;

; ;

.

Комментарий. В правой части у нас нет слагаемого с x², поэтому в первом уравнении системы ставим справа ноль.

.

Пример 4: Решение:

Шаг 1. Проверяем, правильная ли у нас дробь?

Старшая степень числителя - 6. Старшая степень знаменателя - 8. Так как 6<8, то дробь является правильной.

Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Множитель (x²+4) разложить нельзя, а вот (x²-4) – можно:

.

Шаг 3. Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей.

В данном случае, разложение имеет следующий вид:

Пример 6: Решение:

.

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

.

.

.

Пример 7: Решение:

.

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

.

.

Пример 9: Решение:

(1) Здесь неправильная дробь, поскольку старшие степени числителя и знаменателя равны: 3 = 3. Для того чтобы разделить числитель на знаменатель придётся временно раскрыть скобки в знаменателе.

(2)-(3) Теперь можно разделить числитель на знаменатель , но делать этого… я не буду. Можно поступить хитрее. Прибавим и вычтем из числителя выражение: (-x²-x+1).

(4) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель оставшейся, уже правильной, дроби снова записываем в виде произведения множителей. Тут я немного сокращено разложение, надеюсь, всем понятно, что .

Далее очевидно…

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

.

.

8.1.10. Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений

Интегрирование иррациональных функций можно изучать уже при некоторых знаниях и навыках решения неопределенного интеграла. Такие образом, если Вы чайник, и за плечами всего десяток вычисленных интегралов, да и с методом замены переменной в неопределенном интеграле не очень, то лучше начать со статьи Неопределенный интеграл. Примеры решений. Хотя, не пугаемся, не разбегаемся – простейшие примеры с квадратными корнями, думаем, будут понятны широкому кругу студентов. Весь материал мы постараемся изложить максимально подробно и максимально просто.

Мы разберем простейшие неопределенные интегралы от иррациональных функций, чуть более громоздкие, чем были до сих пор (с разными корнями), и закончится повествование биномиальными интегралами, кои уже являются немного дебрями интегралов.