Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Сбор_з_у_м.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
21.02.2020
Размер:
7.39 Mб
Скачать

Пример 5

Пример 6

Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и как осуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в Примере 6 сначала необходимо представить знаменатель (2x2-5) в виде , а потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой .

Попробуйте самостоятельно решить примеры №№ 7 и 8, тем более, что они достаточно короткие.

Пример 7

Найти неопределенный интеграл:

.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл:

.

Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то Ваши навыки дифференцирования на высоте.

Метод выделения полного квадрата

Интегралы вида

,

(коэффициенты a и b не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата.

На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:

или .

Формулы применяются именно в таком направлении, то есть идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их, соответственно, в либо .

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

.

Это простейший пример, в котором при слагаемом x2 – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).

Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя:

.

Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:

Теперь можно применить формулу :

После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет.

Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

.

Что делать, когда перед x2 находится минус? В этом случае нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!

Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку прибавить:

Тут получилась формула , применяем:

ВСЕГДА выполняем на черновике проверку:

что и требовалось проверить.

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Усложняем задачу.

Пример 12

Найти неопределенный интеграл:

Здесь при слагаемом x2 уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».

(1) Если при x2 находится константа, то её сразу выносим за скобки.

(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.

(3) Очевидно, что всё сводится к формуле .

Надо разобраться в слагаемом 2ab, а точнее, найти величину b получить «двойку».

(4) Как видим, здесь b = (2/5). Значит, к выражению прибавляем (2/5)2 = (4/25), и эту же дробь вычитаем.

(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить (7/5)-(4/25), но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма

,

и действие (7/5)-(4/25) выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.

(6) Собственно, можно применить формулу ,

только вместо «икс» у нас x+(2/5), что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию x+(2/5) следовало подвести под знак дифференциала:

,

но, как уже неоднократно отмечалось, этим часто пренебрегают.

(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]