Пример 5
Пример 6
Тут
целесообразно взять в руки таблицу
интегралов и проследить, по каким
формулам и как
осуществляется
превращение. Обратите внимание, как
и зачем выделяются
квадраты в данных примерах. В частности,
в Примере 6 сначала необходимо представить
знаменатель (2x2-5)
в виде
,
а потом подвести
под знак дифференциала. А сделать это
всё нужно для того, чтобы воспользоваться
стандартной табличной формулой
.
Попробуйте самостоятельно решить примеры №№ 7 и 8, тем более, что они достаточно короткие.
Пример 7
Найти неопределенный интеграл:
.
Пример 8
Найти неопределенный интеграл:
.
Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то Ваши навыки дифференцирования на высоте.
Метод выделения полного квадрата
Интегралы вида
,
(коэффициенты a и b не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата.
На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:
или
.
Формулы
применяются именно в таком направлении,
то есть идея метода состоит в том, чтобы
в знаменателе искусственно организовать
выражения
либо
,
а затем преобразовать их, соответственно,
в
либо
.
Пример 9
Найти неопределенный интеграл
.
Это простейший пример, в котором при слагаемом x2 – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).
Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя:
.
Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:
Теперь можно применить формулу :
После
того, как преобразование закончено
ВСЕГДА желательно
выполнить обратный ход:
,
всё нормально, ошибок нет.
Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:
Пример 10
Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Пример 11
Найти неопределенный интеграл
.
Что
делать, когда перед
x2
находится минус? В этом случае нужно
вынести минус за скобки и расположить
слагаемые в нужном нам порядке:
.
Константу («двойку»
в данном случае) не
трогаем!
Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку прибавить:
Тут получилась формула , применяем:
ВСЕГДА выполняем на черновике проверку:
что и требовалось проверить.
Чистовое оформление примера выглядит примерно так:
Усложняем задачу.
Пример 12
Найти неопределенный интеграл:
Здесь при слагаемом x2 уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».
(1) Если при x2 находится константа, то её сразу выносим за скобки.
(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.
(3) Очевидно, что всё сводится к формуле .
Надо разобраться в слагаемом 2ab, а точнее, найти величину b получить «двойку».
(4) Как видим, здесь b = (2/5). Значит, к выражению прибавляем (2/5)2 = (4/25), и эту же дробь вычитаем.
(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить (7/5)-(4/25), но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма
,
и действие (7/5)-(4/25) выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.
(6) Собственно, можно применить формулу ,
только вместо «икс» у нас x+(2/5), что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию x+(2/5) следовало подвести под знак дифференциала:
,
но, как уже неоднократно отмечалось, этим часто пренебрегают.
(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:
