Пример 2

Найти неопределенный интеграл

.

Выполнить проверку

Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены переменной уже не пройдёт.

Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто.

В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в частности, при интегрировании иррациональных функций (корней).

Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл

.

Выполнить проверку.

Начинаем подбирать числитель. Алгоритм подбора числителя примерно такой:

1) В числителе нам нужно организовать 2x-1, но там x². Что делать? Заключаю 2x-1 в скобки и умножаю на x, как: x(2x-1).

2) Теперь пробуем раскрыть эти скобки, что получится? Получится: (2x²-x). Уже лучше, но никакой двойки при x² изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на (1/2), получим:

.

3) Снова раскрываем скобки, получаем:

.

Получился нужный x²! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое (-1/2)x. Что делать? Чтобы выражение не изменилось, мы обязаны прибавить к своей конструкции это же (1/2)x:

. Жить стало легче. А нельзя ли еще раз в числителе организовать (2x-1)?

4) Можно. Пробуем: . Раскрываем скобки второго слагаемого:

. Простите, но у нас было на предыдущем шаге (+1/2)x, а не(+x). Что делать? Нужно домножить второе слагаемое на (+1/2):

.

5) Снова для проверки раскрываем скобки во втором слагаемом:

. Вот теперь нормально: получено (+1/2)x из окончательной конструкции пункта 3! Но опять есть маленькое «но», появилось лишнее слагаемое (-1/4), значит, мы обязаны прибавить к своему выражению (1/4):

.

Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем:

Получился.

Таким образом:

Готово. В последнем слагаемом мы применили метод подведения функции под дифференциал.

Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция

.

Рассмотренный метод разложения x² в сумму есть не что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю.

Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно.

Помимо алгоритма подбора можно использовать деление столбиком многочлена на многочлен, но, боюсь, объяснения займут еще больше места, поэтому - как-нибудь в другой раз.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

.

Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.

Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей

Переходим к рассмотрению следующего типа дробей:

, , , (коэффициенты a и c не равны нулю).

На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом: