Пример 12

Найти неопределенный интеграл

.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

.

Полные решения и ответы в конце урока.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

.

Здесь опять в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом (функция с производной), но уже в произведении, и возникает дилемма – что обозначать за t, синус или косинус?

Можно попытаться провести замену методом научного тыка, и, если ничего не получится, то обозначить за t другую функцию, но есть общий ориентир.

Общий научный ориентир: за t нужно обозначить ту функцию, которая, образно говоря, находится в «неудобном положении».

Мы видим, что в данном примере, что студент косинус «мучается» от степени, а синус – свободно так сидит, сам по себе…

Поэтому проведем замену:

.

Пример 15

Найти неопределенный интеграл

.

Анализируем подынтегральную функцию. Что нужно обозначить за t?

Вспоминаем наши ориентиры:

1) Функция, скорее всего, находится в знаменателе;

2) Функция находится в «неудобном положении».

Кстати, эти ориентиры справедливы не только для тригонометрических функций.

Под оба критерия (особенно под второй) подходит синус, поэтому напрашивается замена .

В принципе, замену можно уже проводить, но сначала неплохо было бы разобраться, а что делать с ? Во-первых, «отщипываем» один косинус:

.

Произведение мы резервируем под наш «будущий» дифференциал dt. А выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества:

. Проводим преобразования:

Вот теперь замена:

Готово.

Общее правило: Если в подынтегральной функции одна из тригонометрических функций (синус или косинус) находится в нечетной степени, то нужно от нечетной степени «откусить» одну функцию, а за t – обозначить другую функцию.

Речь идет только об интегралах, где есть косинусы и синусы. В рассмотренном примере в нечетной степени у нас находился косинус, поэтому мы отщипнули от степени один косинус, а за t обозначили синус.

Пример 16

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка – это частый случай метода замены переменной. Её можно попробовать применить, когда «не знаешь, что делать». Но на самом деле есть некоторые ориентиры для ее применения. Типичными интегралами, где нужно применить универсальную тригонометрическую подстановку, являются следующие интегралы: , , , и т.д. Приведём примеры использования универсальной тригонометрической подстановки.

Пример 17

Найти неопределенный интеграл

.

Универсальная тригонометрическая подстановка в данном случае реализуется следующим способом. Проведем замену:

.

Мы используем здесь не букву t, а букву z. Это не какое-то правило, просто привычка.

Здесь удобнее находить дифференциал dx, для этого из равенства , мы выражаем x:

Навешиваю на обе части арктангенс:

.

Справа арктангенс и тангенс взаимно уничтожаются, получаем:

,

.

Таким образом:

.

На практике можно не расписывать так подробно, а пользоваться готовым результатом: .

Последнее выражение справедливо только в том случае, если под синусами и косинусами у нас просто «иксы», для интеграла (о котором мы еще поговорим) всё будет несколько иначе!

При универсальной тригонометрической подстановке синусы и косинусы у нас превращаются в следующие дроби:

, .

Последние равенства основаны на известных тригонометрических формулах:

, .

Итак, чистовое оформление может быть таким:

Проведем универсальную тригонометрическую подстановку: . Тогда

,

.

Далее, с учётом подстановки:

(1) Производим в исходном интеграле подстановки:

, , .

(2) Приводим знаменатель к общему знаменателю.

(3) Избавляемся от четырехэтажности дроби, при этом у нас сокращается. Раскрываем скобки в знаменателе, двойку в числителе выносим за знак интеграла.

(4) Приводим подобные слагаемые в знаменателе.

(5) Интеграл решается методом выделения полного квадрата. Более подробно с этим методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей. Разложение

является подготовкой для осуществления вышеуказанного приёма.

(6) Выделяем полный квадрат и готовим интеграл для интегрирования.

(7) Интегрируем по табличной формуле .

(8) Проводим обратную замену, вспоминая, что . Готово.

Рассмотрим похожий интеграл: .

Нет, решать мы его не будем, а просто поймем, как проводить замену.

Здесь тоже проводится универсальная тригонометрическая подстановка: .

Обратите внимание, что аргумент под тангенсом должен быть в два раза меньше, чем под синусом и косинусом. Формулы , сохраняют статус-кво, а вот дифференциал будет немного другой:

.

Интеграл решается путем замены и т.д., всё точно так же, единственное отличие, дифференциал будет опять немного другой.