Пример 8

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.

Далее – пример с повышением степени:

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

.

Сначала решение, потом комментарии:

(1) Готовим подынтегральную функцию для применения формулы .

(2) Собственно применяем формулу.

(3) Возводим знаменатель в квадрат и выносим константу за знак интеграла. Можно было поступить несколько иначе, но так удобнее.

(4) Используем формулу .

(5) В третьем слагаемом снова понижаем степень, но уже с помощью формулы .

(6) Приводим подобные слагаемые (здесь мы почленно разделили и выполнили сложение ).

(7) Собственно берём интеграл, правило линейности и метод подведения функции под знак дифференциала выполняем устно.

(8) Причесываем ответ.

В неопределенном интеграле нередко ответ можно записать несколькими способами.

В только что рассмотренном примере окончательный ответ

можно было записать иначе – раскрыть скобки и даже сделать это до интегрирования выражения. То есть вполне допустима следующая концовка примера:

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример решается двумя способами, и у Вас могут получиться два разных ответа (точнее, они будут выглядеть совершенно по-разному, но с математической точки зрения являться эквивалентными). Скорее всего, Вы не увидите наиболее рациональный способ и помучаетесь с раскрытием скобок, использованием других тригонометрических формул. Наиболее эффективное решение приведено в конце урока.

Подытоживая параграф, сделаем вывод: любой интеграл вида , где n и m – чётные числа, решается методом понижения степени подынтегральной функции.

На практике мне встречались интегралы с 8 и 10 степенями, решать их приходилось ужасно долго, понижая степень несколько раз, в результате получались длинные-длинные ответы.

Метод замены переменной

Как уже упоминалось в статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле, основной предпосылкой для использования метода замены является тот факт, что в подынтегральном выражении есть некоторая функция и её производная :

(функции , не обязательно находятся под знаком интеграла в виде произведения).

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

.

Смотрим в таблицу производных и замечаем формулы , , то есть, в нашем подынтегральном выражении есть функция и её производная. Однако мы видим, что при дифференцировании косинус и синус взаимно превращаются друг в друга, и возникает вопрос: как выполнить замену переменной и что же обозначать за t – синус или косинус?!

Вопрос можно решить методом научного тыка: если мы неправильно выполним замену, то ничего хорошего не получится.

Общий ориентир: в похожих случаях за t нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.

Итак, запомнили:

.

Прерываем решение и проводим замену

;

.

В знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит только от, теперь осталось выяснить, во что превратится .

Для этого находим дифференциал dt:

Или, если короче:

Из полученного равенства по правилу пропорции получаем нужное нам выражение:

.

Итак:

Теперь всё подынтегральное выражение у нас зависит только от t и можно продолжать решение

Готово. Напоминаем, что цель замены – упростить подынтегральное выражение. В данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.

А сейчас два примера для самостоятельного решения: