Порядок старшинства операций

Новые высказывания могут быть образованы при помощи нескольких или даже всех пяти логических операций, причём каждая из операций может применяться несколько раз.

Если в выражении встречаются различные логические операции, то порядок старшинства операций (их приоритет) следующий (понижение приоритета слеванаправо): . Это означает, что сначала выполняются операции отрицания, затем конъюнкции и т.д. Для нарушения порядка выполнения логических операций служат скобки.

Истинность или ложность сложного высказывания можно установить, решая задачу «по действиям».

Рассмотрим примеры.

Задача 2. Пусть высказывания А и В имеют значения «истина», а высказывания C и D – «ложь». Какое значение имеет высказывание?

Решение.

В соответствии с порядком старшинства логических операций будем решать задачу «по действиям», используя таблицы истинности логических операций.

1) - «истина».

2) - «ложь».

3) - «истина».

4) - «ложь».

5) - «ложь».

Задача 3. Пусть высказывания А и В имеют значения «истина», а высказывания C и D – «ложь». Какое значение имеет высказывание ?

Решение.

1) - «истина».

2) - «ложь».

3) - «ложь».

4) - «истина».

5) - «истина».

Если в выражении присутствуют арифметические операции, операции сравнения и логические операции, то приоритет следующий:

• сначала выполняются арифметические операции; порядок старшинства арифметических операций (слеванаправо): умножение, деление, сложение, вычитание;

• затем – операции =,  и операции сравнения (<, , , >) в том порядке, в каком они встречаются в выражении;

• и, наконец, выполняются логические операции в соответствии с приоритетом

(понижение приоритета слева направо): .

Основные законы математической логики

• Коммутативность: , .

• Ассоциативность: , .

• Дистрибутивность: , .

• Законы де Моргана: , .

• Закон поглощения: .

• Закон идемпотентности: .

• «истина» = А, «ложь» = «ложь»

• «истина» = «истина», «ложь» = А.

• Закон противоречия: «ложь».

• Закон исключения третьего: «истина».

• Закон двойного отрицания: .

Парадоксы логики

Парадоксы логики или семантические парадоксы - это «правдоподобные» рассуждения, приводящие к противоречивым результатам.

Хотя логика и является основой всех остальных наук, тем не менее, присущее ей, наряду с фундаментальностью, свойство самоочевидности привело к отсутствию глубоких исследований вплоть до XIX столетия, когда интерес к логике оживился под влиянием неевклидовых геометрий (геометрии Лобачевского), а также необходимости строгого обоснования математического анализа. Особый же всплеск внимания к логике возник на исходе XIX века: мир был поражён открытием парадоксов логики, то есть рассуждений, приводящих к противоречиям. Эти парадоксы обычно называют семантическими парадоксами.

Парадокс лжеца. Некто утверждает: «Я лгу». Если утверждение «я лгу» истинно («я лгу» = «истина»), то это означает, что он действительно лжёт о том, что лжёт, т.е. утверждение «я лгу» – ложно. Получается, что высказывание «я лгу» и истинно, и ложно одновременно.

Парадокс брадобрея. Командир полка назначает одного из солдат брадобреем, приказывая при этом брить тех и только тех солдат, которые не бреются сами. Что же делать брадобрею с самим собой? Если он – брадобрей – будет бриться сам, то это означает, что брадобрей бреет того, кто бреется сам. Он нарушит приказ командира. Но если он не будет сам бриться, значит, его должен побрить брадобрей, т.е. он сам. Получается, что он должен брить и не брить себя одновременно.

Основная цель математической логики

Основной целью математической логики является обеспечение системы формальных обозначений для рассуждений, встречающихся не только в математике, но и в повседневной жизни.

Решим следующую задачу, используя законы сложения и умножения высказываний.

Задача 4. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике»; Джонс сказал, что это был чёрный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд Мустанг» и ни в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только её цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки?

Решение:

1) Перечислим все имеющиеся высказывания:

A{машина синего цвета} – 1-е показание Брауна,

B{машина марки «Бьюик»} – 2-е показание Брауна,

C{машина чёрного цвета} – 1-е показание Джонса,

D{машина марки «Крайслер»} – 2-е показание Джонса,

Eмашина марки «Форд Мустанг»} – 1-е показание Смита,

– 2-е показание Смита.

2) По условию задачи каждый из подозреваемых сказал правду или только про марку машины, или только про её цвет.

Т.к. Браун дал показания А, В, то А или В – правда, что в записи математической логики будет выглядеть: «истина».

Джонс дал показания C, D, т.е. С или D – правда, что есть «истина».

Смит дал показания E, , т.е. Е или – правда, что есть «истина».

3) Следствие имеет показания Брауна и Джонса и Смита, т.е.

и и ,

что в записи математической логики есть

«истина»,

т.к. истинно каждое из высказываний , , .

4) Имеем: «истина».

Перепишем последнее выражение, учитывая, что  является логической суммой, а  есть логическое произведение:

«истина».

Раскроем скобки:

«истина».

5) Проанализируем каждое из слагаемых полученного выражения:

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина и синего и не синего цвета;

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина и синего и чёрного цвета;

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина и синего и не синего цвета;

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина «Крайслер» (D) и машина «Форд Мустанг» (E);

{машина марки «Бьюик»; и машина чёрного цвета; и машина не синего цвета}

– в этом выражении внутренних противоречий нет, но мы пока что не знаем, истинно оно или ложно;

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина «Бьюик» и машина «Форд Мустанг» ;

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина «Бьюик» и машина «Крайслер» ;

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина «Бьюик» и машина «Крайслер» .

6) Получили:

«ложь»  «ложь»  «ложь»  «ложь»   «ложь»  «ложь»  «ложь» =

=  «ложь» = «истина».

Значит = «истина», т.е. преступники скрылись на чёрном «Бьюике».

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

Докажите формулу: .