Пример 12
Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения.
И
заключительный пример сегодняшнего
урока под счастливым номером тринадцать:
«арк», умноженный на многочлен. Он
сложнее, и предназначен для маньяков,
желающих лучше
разобраться в методе интегрирования
по частям. Пример, пожалуй, будет тоже
для самостоятельного решения, поскольку
меня немного утомил тот логарифм в
квадрате.
Пример 13
Найти неопределенный интеграл
.
Рассмотренный метод часто применяется в комбинации с другими приёмами решения интегралов. Читатели с хорошими навыками могут ознакомиться с такими примерами на уроке Сложные интегралы.
Решения и ответы:
Пример 3: Решение:
.
Пример 4: Решение:
Интегрируем по частям:
.
Пример 6: Решение:
Дважды интегрируем по частям:
Пример 8: Решение:
Интегрируем
по частям:
Пример 10: Решение:
Интегрируем
по частям:
Примечание:
Здесь мы использовали известную
тригонометрическую формулу двойного
угла
.
Её можно было использовать и сразу:
,
а потом интегрировать по частям.
Похожим
способом также решаются интегралы вроде
,
– в них необходимо (сразу или в ходе
решения) понизить степень синуса
(косинуса) с помощью соответствующих
формул.
Более подробно – см. Интегралы от тригонометрических функций.
Пример 12:
Интегрируем по частям:
Пример 13:
Интегрируем по частям:
Примечание: Если возникли трудности с интегралом
,
то следует посетить урок Интегрирование некоторых дробей.
8.1.7. Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
На данном уроке мы рассмотрим интегралы от тригонометрических функций, то есть начинкой интегралов у нас будут синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы в различных комбинациях. Все примеры будут разобраны подробно, доступно и понятно.
Для успешного изучения интегралов от тригонометрических функций Вы должны хорошо ориентироваться в простейших интегралах, а также владеть некоторыми приемами интегрирования. Ознакомиться с этими материалами можно на лекциях Неопределенный интеграл. Примеры решений и Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
А сейчас нам потребуются Таблица интегралов, Таблица производных и Справочник тригонометрических формул. Все методические пособия можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Рекомендую всё распечатать. Особо заостряю внимание на тригонометрических формулах, они должны быть перед глазами – без этого эффективность работы заметно снизится.
Но сначала о том, каких
интегралов в данной статье нет.
Здесь не найдется интегралов вида
,
– косинус, синус, умноженный на
какой-нибудь многочлен (реже что-нибудь
с тангенсом или котангенсом). Такие
интегралы интегрируются по частям, и
для изучения метода посетите урок
Интегрирование
по частям. Примеры решений.
Также здесь не найдется интегралов с
«арками» – арктангенсом, арксинусом и
др., они тоже чаще всего интегрируются
по частям.
При нахождении интегралов от тригонометрических функций используется ряд методов, в том числе:
- использование тригонометрических формул;
- понижение степени подынтегральной функции (частный случай п.1);
- метод замены переменной;
- универсальная тригонометрическая подстановка (частный случай п.3).
Следует отметить, что данное разделение весьма условно, поскольку очень часто все вышеперечисленные правила используются одновременно в одном примере.