Пример 14
Найти неопределенный интеграл.
.
Пример для самостоятельного решения. Ответ совсем близко.
Внимательные читатели заметили, что мы рассмотрели мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функций отведёны отдельные уроки 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7. Более того, далее даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье 7.2.
Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями. Замена при интегрировании корней является специфической, и её техника выполнения отличается от той, которую мы рассмотрели на этом уроке.
Решения и ответы:
Пример 3: Решение:
Пример 4: Решение:
Пример 7: Решение:
Пример 9: Решение:
Замена:
;
;
Пример 11: Решение:
Проведем замену:
Пример 12: Решение:
Проведем замену:
Пример 14: Решение:
Проведем замену:
8.1.2. Интегрирование по частям. Примеры решений
Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете и экзамене студенту почти всегда предлагают решить интегралы следующих типов: простейший интеграл, либо интеграл на замену переменной, либо интеграл как раз на метод интегрирования по частям.
Для эффективного изучения темы необходимо хорошо ориентироваться в материалах двух вышеуказанных уроков. Если Вы чайник, и только-только начинаете погружение в удивительный мир интегралов, то читать далее не имеет особого смысла – следует начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений.
Как всегда, под рукой должны быть: таблица интегралов и таблица производных.
Какую задачу решает метод интегрирования по частям? Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное. Как мы помним, нет удобной формулы:
.
Зато есть такая:
– формула интегрирования по частям собственной персоной. С ней мы и будет работать весь урок.
И сразу список в студию. По частям берутся интегралы следующих видов:
1)
,
,
– логарифм, логарифм, умноженный на
какой-нибудь многочлен.
2)
,
– экспоненциальная функция, умноженная
на какой-нибудь многочлен. Сюда же можно
отнести интегралы вроде
– показательная функция, умноженная
на многочлен, но на практике процентах
так в 97, под интегралом красуется
симпатичная буква «е».
3)
,
,
– тригонометрические функции, умноженные
на какой-нибудь многочлен.
4)
,
– обратные тригонометрические функции
(«арки»), «арки», умноженные на какой-нибудь
многочлен.
Также по частям берутся некоторые дроби, соответствующие примеры мы тоже подробно рассмотрим.
8.1.3. Интегралы от логарифмов Пример 1
Найти неопределенный интеграл.
.
Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:
Прерываем решение на промежуточные объяснения.
Используем формулу интегрирования по частям:
Формула применяется слева направо
Смотрим
на левую часть:
.
Очевидно, что в нашем примере
(и во всех остальных, которые мы рассмотрим)
что-то нужно обозначить за u,
а что-то за dv.
В интегралах рассматриваемого типа за u всегда обозначается логарифм.
Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:
То есть, за u мы обозначили логарифм, а за dv – оставшуюся часть подынтегрального выражения.
Следующий этап: находим дифференциал du:
Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках.
Теперь находим функцию v. Для того чтобы найти функцию v необходимо проинтегрировать правую часть нижнего равенства dv = dx:
Теперь
открываем наше решение и конструируем
правую часть формулы:
.
Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками:
Единственный момент, в произведении uv я сразу переставил местами u и v, так как множитель x принято записывать перед логарифмом.
Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам.
Обратите внимание, что в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом, обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс».
Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно.
В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: . И это не случайно.
Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.