Частные производные второго порядка функции трёх переменных
Общий принцип нахождения частных производных порядка второго порядка функции трёх переменных аналогичен принципу нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных.
Для
того чтобы найти частные производные
второго порядка, необходимо сначала
найти частные производные первого
порядка
или, в другой записи:
.
Частных производных второго порядка девять штук.
Первая группа – это вторые производные по тем же переменным:
или
– вторая производная по «икс»;
или
– вторая производная по «игрек»;
или
– вторая производная по «зет».
Вторая группа – это смешанные частные производные 2-го порядка, их шесть:
или
– смешанная производная
«по икс игрек»;
или
– смешанная производная
«по игрек икс»;
или
– смешанная
производная «по икс
зет»;
или
– смешанная производная
«по зет икс»;
или
– смешанная производная
«по игрек зет»;
или
– смешанная
производная «по зет
игрек».
Как и для случая функции двух переменных, при решении задач можно ориентироваться на следующие равенства смешанных производных второго порядка:
.
Примечание: строго говоря, это не всегда так. Для равенства смешанных производных необходимо выполнение требования их непрерывности.
На всякий случай несколько примеров, как правильно читать сиё безобразие вслух:
– «у два штриха дважды по игрек»;
– «дэ два у по дэ зет квадрат»;
– «у два штриха по икс по зет»;
– «дэ два у по дэ зет по дэ игрек».
Пример 10
Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных:
.
Решение: Сначала найдем частные производные первого порядка:
Частные производные второго порядка рекомендую начинать искать со смешанных производных, поскольку это позволит выяснить, а правильно ли вообще найдены производные первого порядка.
Берём найденную производную
и
дифференцируем её по «игрек»:
Берём найденную производную
и дифференцируем её по «икс»:
Равенство
выполнено. Хорошо.
Разбираемся со второй парой смешанных производных.
Берём найденную производную
и дифференцируем её по «зет»:
Берём найденную производную
и дифференцируем её по «икс»:
Равенство
выполнено. Хорошо.
Аналогично разбираемся с третьей парой смешанных производных:
Равенство
выполнено. Хорошо.
После проделанных трудов гарантированно можно утверждать, что, во-первых, мы правильно нашли все частные производные 1-го порядка, во-вторых, правильно нашли и смешанные частные производные 2-го порядка.
Осталось найти ещё три частные производные второго порядка, вот здесь уже во избежание ошибок следует максимально сконцентрировать внимание:
Готово. Повторюсь, задание не столько сложное, сколько объемное. Решение можно сократить и сослаться на равенства смешанных частных производных, но в этом случае не будет проверки. Поэтому лучше потратить время и найти все производные (к тому же это может потребовать преподаватель), или, в крайнем случае, выполнить проверку на черновике.