Пример 2

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотренные два примера достаточно просты и, решив несколько подобных задачек, даже чайник приноровится расправляться с ними устно.

Для разгрузки вернемся к первому вопросу викторины: Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства

(длина / ширина / высота)?

Верный ответ: «Наукой это не запрещено». Вся фундаментальная математическая аксиоматика, теоремы, математический аппарат прекрасно и непротиворечиво работают в пространстве любой размерности. Не исключено, что где-нибудь во Вселенной существуют неподвластные нашему разуму гиперповерхности, например, четырёхмерная гиперповерхность, которая задается функцией трех переменных . А может быть, гиперповерхности рядом с нами или даже мы находимся прямо в них, просто наше зрение, другие органы чувств и сознание способны на восприятие и осмысление только трёх измерений.

Вернемся к примерам. Помимо простейших Примеров 1-2 на практике встречаются задания, которые можно назвать небольшой головоломкой. Навёрстываем упущенное.

Пример 3

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных и составить полный дифференциал первого порядка

.

Решение: вроде бы тут «всё просто», но первое впечатление обманчиво. При нахождении частных производных многие будут гадать на кофейной гуще и ошибаться.

Разберём пример последовательно, чётко и понятно.

Начнём с частной производной по «икс». Когда мы находим частную производную по «икс», то переменные y, z считаются константами. Следовательно, показатель нашей функции yz – тоже константа. Для чайников рекомендую следующий приём решения: на черновике поменяйте константу yz на конкретное положительное целое число, например, на «пятерку». В результате получится функция одной переменной:

; или ещё можно записать так: .

Это степенная функция со сложным основанием (синусом).

По правилу дифференцирования сложной функции:

Теперь вспоминаем, что

, таким образом: .

На чистовике, конечно, решение следует оформить так:

Находим частную производную по «игрек», тогда x, z считаются константами. Если «икс» константа, то – тоже константа. На черновике проделываем тот же трюк: заменим, например, на 3, «зет» – заменим той же «пятёркой». В результате снова получается функция одной переменной:

.

Это показательная функция со сложным показателем. По правилу дифференцирования сложной функции:

.

Теперь вспоминаем нашу замену: .

Таким образом:

На чистовике, понятно, оформление должно выглядеть, благообразно:

И зеркальный случай с частной производной по «зет» (x, y – константы):

При определенном опыте проведенный анализ можно проводить мысленно.

Выполняем вторую часть задания – составим дифференциал первого порядка. Это очень просто, по аналогии с функцией двух переменных, дифференциал первого порядка записывается по формуле:

В данном случае: