Пример 9
Вычислить
приближенное значение функции
в точке
с помощью полного дифференциала, оценить
абсолютную и относительную погрешность.
Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными.
Это
произошло по следующей причине: в
предложенной задаче достаточно велики
приращения аргументов:
.
Общая
закономерность такова – чем больше эти
приращения по абсолютной величине, тем
ниже точность вычислений. Так, например,
для похожей точки
приращения будут небольшими:
,
и точность приближенных вычислений
получится очень высокой.
Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).
Пример 10
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения:
.
Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.
Решение: Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:
.
Отличие
от Примеров 8-9 состоит в том, что нам
сначала необходимо составить функцию
двух переменных:
.
Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.
Значение
4,9973 близко к «пятерке», поэтому:
,
.
Значение
0,9919 близко к «единице», следовательно,
полагаем:
,
.
Вычислим значение функции в точке :
Дифференциал в точке найдем по формуле:
Для
этого вычислим частные производные
первого порядка в точке
.
Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:
.
.
Полный дифференциал в точке :
Таким образом, приближенное значение данного выражения:
.
Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527.
Найдем относительную погрешность вычислений:
.
Ответ:
.
.
Как
иллюстрация к вышесказанному, в
рассмотренной задаче приращения
аргументов очень малы
,
и погрешность получилась фантастически
мизерной.
Пример 11
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.
.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
И заключительный простой пример:
Пример 12
С
помощью полного дифференциала функции
двух переменных вычислить приближенно
значение функции
,
если
.
Решение смотрите ниже.
Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения. Задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны. Самое важное здесь - не допустить ошибку в обычных расчётах.
Решения и ответы:
Пример
2: Решение:
Используем
формулу:
В
данном случае:
,
,
.
.
Таким
образом:
.
Ответ:
.
Пример 4: Решение: Используем формулу:
В
данном случае:
,
,
Таким
образом:
.
Вычислим более точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
.
Ответ:
,
абсолютная погрешность вычислений
,
относительная погрешность вычислений
.
Пример 5: Решение: Используем формулу: .
В
данном случае:
,
,
.
Таким образом:
Ответ:
.
Пример 7: Решение: Используем формулу: .
В
данном случае:
,
,
.
.
Таким
образом:
.
Ответ:
.
Пример 9: Решение: Используем формулу:
В данной задаче:
,
,
,
,
.
Вычислим частные производные первого порядка
в точке (2; 1):
.
Полный
дифференциал в точке (2;
1):
.
Таким
образом:
.
С помощью калькулятора вычислим точное значение функции в данной точке:
Абсолютная погрешность:
.
Относительная погрешность:
.
Ответ:
,
абсолютная
погрешность:
,
относительная
погрешность:
.
Пример 11: Решение: С помощью полного дифференциала вычислим данное выражение приближенно:
.
В данной задаче:
,
,
,
.
.
.
Вычислим частные производные первого порядка
в точке (1; 1):
.
.
.
Полный дифференциал в точке (1; 1):
Таким образом, приближенное значение данного выражения:
.
Значение, вычисленное с помощью микрокалькулятора: 2,007045533.
Найдем относительную погрешность вычислений:
.
Ответ:
,
.
Пример 12: Решение: Используем формулу: .
В
данной задаче:
,
,
,
,
.
.
.
Вычислим частные производные первого порядка
в точке (5; 0):
.
Полный дифференциал в точке (5; 0):
.
Таким образом:
.
Ответ:
.