
- •Математика Сборник заданий и упражнений для текущего контроля знаний
- •Содержание
- •Вводная часть
- •В соответствии с гос, предшествующий уровень образования абитуриента должен быть не ниже (полного) среднего общего образования.
- •1. Алгебра высказываний
- •1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат
- •1.2. Основные законы математической логики.
- •Операция отрицания, или отрицание высказывания
- •Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний
- •Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний
- •Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.
- •Операция импликации, или импликация высказываний
- •Порядок старшинства операций
- •Задача 2.
- •2. Матрицы.
- •2.1. Алгебра матриц
- •2) Умножение матрицы на число.
- •2.2. Вычисление определителей
- •2.3. Вычисление обратной матрицы
- •6) Проверка:
- •3. Решение системы линейных уравнений
- •3.1. Решение системы линейных уравнений методом подстановки
- •3.2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
- •3.3. Решение системы по правилу Крамера
- •3.4. Решение системы с помощью обратной матрицы
- •3.5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных)
- •3.6. Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения
- •4. Комплексные числа
- •4.1. Понятие комплексного числа
- •4.2. Алгебраическая форма комплексного числа. Алгебра комплексных чисел
- •4.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
- •Возведение комплексных чисел в степень
- •Извлечение корней из комплексных чисел
- •5. Математические формулы и графики
- •5.1. Математические формулы
- •5.2. Графики и основные свойства элементарных функций
- •Как правильно построить координатные оси?
- •График линейной функции
- •График квадратичной, кубической функции, график многочлена
- •Кубическая парабола
- •График функции
- •График гиперболы
- •График показательной функции
- •График логарифмической функции
- •Графики тригонометрических функций
- •Графики обратных тригонометрических функций
- •6. Пределы функций
- •6.1. Основные методы вычисления пределов
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •6.2. Замечательные пределы.
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •7. Производные функций
- •7.1. Производные функций одной переменной.
- •Пример 1
- •Пример 7
- •4) Производная частного функций
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Решения и ответы:
- •7.1.3. Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции
- •Пример 1
- •Сложные производные
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 12
- •Производная степенно-показательной функции
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Решения и ответы:
- •7.1.4. Производная функции, заданной неявно
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •7.1.5. Производная функции, заданной параметрически.
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Решения и ответы:
- •7.2. Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений
- •Производная функции в точке
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Уравнение касательной к графику функции
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Дифференциал функции одной переменной для приближенных вычислений
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Вторая производная
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Решения и ответы:
- •7.3. Частные производные. Примеры решений
- •Пример 1
- •Особенности вычисления частных производных
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Абсолютная и относительная погрешности вычислений
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Решения и ответы:
- •7.5. Частные производные функции трёх переменных
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Частные производные второго порядка функции трёх переменных
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8. Интегралы
- •8.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Решения и ответы:
- •8.1.1. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
- •Подведение функции под знак дифференциала
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Решения и ответы:
- •8.1.2. Интегрирование по частям. Примеры решений
- •8.1.3. Интегралы от логарифмов Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •8.1.4. Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Пример 5
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Решения и ответы:
- •8.1.7. Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Метод замены переменной
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Пример 16
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •Пример 17
- •Пример 18
- •Пример 19
- •8.1.8. Интегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
- •Метод разложения числителя Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Метод выделения полного квадрата
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Подведение числителя под знак дифференциала
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Пример 16
- •8.1.9. Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
- •Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 9
- •Решения и ответы:
- •8.1.10. Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Решения и ответы:
- •8.1.11. Сложные интегралы
- •Последовательная замена переменной и интегрирование по частям Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод сведения интеграла к самому себе
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Интегрирование сложных дробей
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 14
- •Интегрирование сложных тригонометрических функций
- •Пример 15
- •Пример 16
- •Пример 17
- •Пример 18
- •Пример 19
- •Пример 20
- •Пример 25
- •Решения и ответы:
- •8.2. Определенный интеграл. Примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •8.2.1. Замена переменной в определенном интеграле
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •8.2.2. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Решения и ответы:
- •8.2.3. Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8.2.4. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси ox Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси oy
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Решения и ответы:
- •8.3. Несобственные интегралы. Примеры решений
- •8.3.1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •8.3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
- •8.4.1. Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла. Тригонометрическая подстановка
- •Пример 4
- •Пример 5
- •8.4.2. Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •Пример 6
- •8.4.3. Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
- •Пример 7
- •Пример 8
- •8.4.4. Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •8.4.5. Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
- •Пример 12
- •Пример 13
- •8.4.6. Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
- •Решения и ответы:
- •Приложение 1. Числа
- •Приложение 2. Упражнения по элементам финансовой математики
- •Литература Основной список
- •Дополнительный список
Особенности вычисления частных производных
Подведем итог, чем же отличается нахождение частных производных от нахождения «обычных» производных функции одной переменной:
1) Когда мы находим частную производную , то переменная считается константой.
2) Когда мы находим частную производную , то переменная считается константой.
3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.
Обозначения:
или
– вторая производная по «икс»
или
– вторая производная по «игрек»
или
– смешанная производная
«по икс игрек»
или
– смешанная производная
«по игрек икс»
В понятии второй производной нет ничего сложного. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.
Для наглядности я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:
Сначала найдем смешанные производные:
Как видите, всё просто: берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».
Аналогично:
Для практических примеров, когда все частные производные непрерывны, справедливо следующее равенство:
Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.
Находим вторую производную по «икс».
Никаких изобретений, берем и дифференцируем её по «икс» еще раз:
Аналогично:
Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для проверки не существует.
Пример 2
Найти
частные производные первого и второго
порядка функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
При определенном опыте частные производные из примеров №№1,2 будут решаться Вами устно.
Переходим к более сложным примерам.
Пример 3
Найти
частные производные первого порядка
функции
.
Проверить, что
.
Записать полный дифференциал первого
порядка
.
Решение: Находим частные производные первого порядка:
Обратите
внимание на подстрочный индекс:
,
рядом с «иксом» не возбраняется в скобках
записывать, что
– константа. Данная пометка может быть
очень полезна для начинающих, чтобы
легче было ориентироваться в решении.
Дальнейшие комментарии:
(1)
Выносим все константы за знак производной.
В данном случае
и
,
а, значит, и их произведение
считается постоянным числом.
(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.
(1)
Выносим все константы за знак производной,
в данной случае константой является
.
(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения .
(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .
Теперь находим смешанные производные второго порядка:
, значит, все вычисления выполнены верно.
Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.
Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:
.
В данном случае:
То есть, в формулу нужно просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях: