
- •Математика Сборник заданий и упражнений для текущего контроля знаний
- •Содержание
- •Вводная часть
- •В соответствии с гос, предшествующий уровень образования абитуриента должен быть не ниже (полного) среднего общего образования.
- •1. Алгебра высказываний
- •1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат
- •1.2. Основные законы математической логики.
- •Операция отрицания, или отрицание высказывания
- •Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний
- •Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний
- •Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.
- •Операция импликации, или импликация высказываний
- •Порядок старшинства операций
- •Задача 2.
- •2. Матрицы.
- •2.1. Алгебра матриц
- •2) Умножение матрицы на число.
- •2.2. Вычисление определителей
- •2.3. Вычисление обратной матрицы
- •6) Проверка:
- •3. Решение системы линейных уравнений
- •3.1. Решение системы линейных уравнений методом подстановки
- •3.2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
- •3.3. Решение системы по правилу Крамера
- •3.4. Решение системы с помощью обратной матрицы
- •3.5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных)
- •3.6. Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения
- •4. Комплексные числа
- •4.1. Понятие комплексного числа
- •4.2. Алгебраическая форма комплексного числа. Алгебра комплексных чисел
- •4.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
- •Возведение комплексных чисел в степень
- •Извлечение корней из комплексных чисел
- •5. Математические формулы и графики
- •5.1. Математические формулы
- •5.2. Графики и основные свойства элементарных функций
- •Как правильно построить координатные оси?
- •График линейной функции
- •График квадратичной, кубической функции, график многочлена
- •Кубическая парабола
- •График функции
- •График гиперболы
- •График показательной функции
- •График логарифмической функции
- •Графики тригонометрических функций
- •Графики обратных тригонометрических функций
- •6. Пределы функций
- •6.1. Основные методы вычисления пределов
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •6.2. Замечательные пределы.
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •7. Производные функций
- •7.1. Производные функций одной переменной.
- •Пример 1
- •Пример 7
- •4) Производная частного функций
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Решения и ответы:
- •7.1.3. Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции
- •Пример 1
- •Сложные производные
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 12
- •Производная степенно-показательной функции
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Решения и ответы:
- •7.1.4. Производная функции, заданной неявно
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •7.1.5. Производная функции, заданной параметрически.
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Решения и ответы:
- •7.2. Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений
- •Производная функции в точке
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Уравнение касательной к графику функции
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Дифференциал функции одной переменной для приближенных вычислений
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Вторая производная
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Решения и ответы:
- •7.3. Частные производные. Примеры решений
- •Пример 1
- •Особенности вычисления частных производных
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Абсолютная и относительная погрешности вычислений
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Решения и ответы:
- •7.5. Частные производные функции трёх переменных
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Частные производные второго порядка функции трёх переменных
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8. Интегралы
- •8.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Решения и ответы:
- •8.1.1. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
- •Подведение функции под знак дифференциала
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Решения и ответы:
- •8.1.2. Интегрирование по частям. Примеры решений
- •8.1.3. Интегралы от логарифмов Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •8.1.4. Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Пример 5
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Решения и ответы:
- •8.1.7. Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Метод замены переменной
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Пример 16
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •Пример 17
- •Пример 18
- •Пример 19
- •8.1.8. Интегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
- •Метод разложения числителя Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Метод выделения полного квадрата
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Подведение числителя под знак дифференциала
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Пример 16
- •8.1.9. Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
- •Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 9
- •Решения и ответы:
- •8.1.10. Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Решения и ответы:
- •8.1.11. Сложные интегралы
- •Последовательная замена переменной и интегрирование по частям Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод сведения интеграла к самому себе
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Интегрирование сложных дробей
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 14
- •Интегрирование сложных тригонометрических функций
- •Пример 15
- •Пример 16
- •Пример 17
- •Пример 18
- •Пример 19
- •Пример 20
- •Пример 25
- •Решения и ответы:
- •8.2. Определенный интеграл. Примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •8.2.1. Замена переменной в определенном интеграле
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •8.2.2. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Решения и ответы:
- •8.2.3. Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8.2.4. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси ox Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси oy
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Решения и ответы:
- •8.3. Несобственные интегралы. Примеры решений
- •8.3.1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •8.3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
- •8.4.1. Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла. Тригонометрическая подстановка
- •Пример 4
- •Пример 5
- •8.4.2. Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •Пример 6
- •8.4.3. Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
- •Пример 7
- •Пример 8
- •8.4.4. Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •8.4.5. Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
- •Пример 12
- •Пример 13
- •8.4.6. Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
- •Решения и ответы:
- •Приложение 1. Числа
- •Приложение 2. Упражнения по элементам финансовой математики
- •Литература Основной список
- •Дополнительный список
7.3. Частные производные. Примеры решений
На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, полного дифференциала функции.
Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде.
Начнем
с самого понятия функции двух переменных,
постараемся ограничиться минимумом
теории, так как сайт имеет практическую
направленность. Функция двух переменных
обычно записывается как
,
при этом переменные
,
называются независимыми
переменными или
аргументами.
Пример:
- функция двух переменных.
Иногда
используют запись
.
Также встречаются задания, где вместо
буквы
используется буква
.
Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например, – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ.
Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.
Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.
Пример 1
Найти
частные производные первого и второго
порядка функции
Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.
Обозначения:
или
– частная производная по «икс»
или
– частная производная по «игрек»
Начнем с .
Важно! Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом).
Решаем. На данном уроке будем сразу приводить полное решение, а комментарии давать ниже.
Комментарии к выполненным действиям:
(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.
Внимание,
важно! Подстрочные
индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В
данном случае, если Вы где-нибудь
нарисуете «штрих» без
,
то преподаватель, как минимум, может
поставить рядом с заданием
(сразу откусить часть балла за
невнимательность).
Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.
(2)
Используем правила дифференцирования
;
.
Для простого примера, как этот, оба
правила вполне можно применить на одном
шаге. Обратите внимание на первое
слагаемое: так как
считается
константой, а любую константу можно
вынести за знак производной,
то
мы выносим за скобки. То есть в данной
ситуации
ничем не лучше обычного числа. Теперь
посмотрим на третье слагаемое
:
здесь, наоборот, выносить нечего. Так
как
константа, то
– тоже константа, и в этом смысле она
ничем не лучше последнего слагаемого
– «семерки».
(3) Используем табличные производные и .
(4) Упрощаем ответ.
Теперь определим . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная считается константой (постоянным числом).
(1)
Используем те же правила дифференцирования
;
.
В первом слагаемом выносим константу
за знак производной, во втором слагаемом
ничего вынести нельзя поскольку
– уже константа.
(2)
Используем таблицу производных
элементарных функций.
Мысленно поменяем
в таблице все «иксы» на «игреки». То
есть данная таблица рАвно справедлива
для
(и вообще для
любой буквы). В
данном случае, используемые нами формулы
имеют вид:
и
.
Итак, частные производные первого порядка найдены