Пример 6
Найти
производную от функции, заданной
параметрически
Используем формулу
В данном случае:
Таким образом:
Особенностью
нахождения производной параметрической
функции является тот факт, что на
каждом шаге результат выгодно максимально
упрощать. Так, в
рассмотренном примере при нахождении
я раскрыл скобки под корнем (хотя мог
этого и не делать). Велик шанс, что при
подстановке
и
в формулу многие вещи хорошо сократятся.
Хотя встречаются, конечно, примеры и с
корявыми ответами.
Пример 7
Найти
производную от функции, заданной
параметрически
Это пример для самостоятельного решения.
Для
параметрически заданной функции также
можно найти вторую производную, и
находится она по следующей формуле:
.
Совершенно очевидно, что для того, чтобы
найти вторую производную, нужно сначала
найти первую производную.
Пример 8
Найти
первую и вторую производные от функции,
заданной параметрически
Сначала найдем первую производную.
Используем формулу
В данном случае:
Подставляет найденные производные в формулу. В целях упрощений используем тригонометрическую формулу :
В задаче на нахождение производной параметрической функции довольно часто в целях упрощений приходится использовать тригонометрические формулы. Помните их или держите под рукой, и не пропускайте возможность упростить каждый промежуточный результат и ответы. Зачем?
Сейчас
нам предстоит взять производную от
,
и это явно лучше, чем находить производную
от
.
Найдем вторую производную.
Используем формулу: .
Посмотрим
на нашу формулу. Знаменатель
уже найден на предыдущем шаге. Осталось
найти числитель – производную от первой
производной по переменной «тэ»:
Осталось воспользоваться формулой:
Готово.
Для закрепления материала предлагаем еще пару примеров для самостоятельного решения.
Пример 9
Найти
и
для функции, заданной параметрически
Пример 10
Найти
и
для функции, заданной параметрически
.
Надеюсь, это занятие было полезным, и Вы теперь с лёгкость сможете находить производные от функций, заданных неявно и от параметрических функций
Решения и ответы:
Пример
3: Решение:
Таким
образом: 
Пример
5: Решение:
Пример 7: Решение:
Используем формулу
В данном случае:
Таким образом:
Пример 9: Решение: Найдем первую производную.
Используем формулу: . В данном случае:
Найдем вторую производную, используя формулу .
Пример 10: Решение:
Используем формулу: . В данном случае:
Таким образом:
.
Вторая производная:
.
7.2. Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений
Помимо нового материала у вас есть возможность дополнительно «набить руку» на нахождении производных. Действительно, если речь пойдет о типовых задачах на производную, то, как минимум, во всех примерах нужно будет найти эту самую производную. Мы рассмотрим приёмы решения и хитрости, которые не встречались в других статьях. Рассмотрим приложения:
1) Производная функции в точке.
2) Уравнение касательной к графику прямой.
3) Дифференциал функции одной переменной.
4) Вторая производная.