
- •Математика Сборник заданий и упражнений для текущего контроля знаний
- •Содержание
- •Вводная часть
- •В соответствии с гос, предшествующий уровень образования абитуриента должен быть не ниже (полного) среднего общего образования.
- •1. Алгебра высказываний
- •1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат
- •1.2. Основные законы математической логики.
- •Операция отрицания, или отрицание высказывания
- •Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний
- •Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний
- •Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.
- •Операция импликации, или импликация высказываний
- •Порядок старшинства операций
- •Задача 2.
- •2. Матрицы.
- •2.1. Алгебра матриц
- •2) Умножение матрицы на число.
- •2.2. Вычисление определителей
- •2.3. Вычисление обратной матрицы
- •6) Проверка:
- •3. Решение системы линейных уравнений
- •3.1. Решение системы линейных уравнений методом подстановки
- •3.2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
- •3.3. Решение системы по правилу Крамера
- •3.4. Решение системы с помощью обратной матрицы
- •3.5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных)
- •3.6. Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения
- •4. Комплексные числа
- •4.1. Понятие комплексного числа
- •4.2. Алгебраическая форма комплексного числа. Алгебра комплексных чисел
- •4.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
- •Возведение комплексных чисел в степень
- •Извлечение корней из комплексных чисел
- •5. Математические формулы и графики
- •5.1. Математические формулы
- •5.2. Графики и основные свойства элементарных функций
- •Как правильно построить координатные оси?
- •График линейной функции
- •График квадратичной, кубической функции, график многочлена
- •Кубическая парабола
- •График функции
- •График гиперболы
- •График показательной функции
- •График логарифмической функции
- •Графики тригонометрических функций
- •Графики обратных тригонометрических функций
- •6. Пределы функций
- •6.1. Основные методы вычисления пределов
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •6.2. Замечательные пределы.
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •7. Производные функций
- •7.1. Производные функций одной переменной.
- •Пример 1
- •Пример 7
- •4) Производная частного функций
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Решения и ответы:
- •7.1.3. Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции
- •Пример 1
- •Сложные производные
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 12
- •Производная степенно-показательной функции
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Решения и ответы:
- •7.1.4. Производная функции, заданной неявно
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •7.1.5. Производная функции, заданной параметрически.
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Решения и ответы:
- •7.2. Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений
- •Производная функции в точке
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Уравнение касательной к графику функции
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Дифференциал функции одной переменной для приближенных вычислений
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Вторая производная
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Решения и ответы:
- •7.3. Частные производные. Примеры решений
- •Пример 1
- •Особенности вычисления частных производных
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Абсолютная и относительная погрешности вычислений
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Решения и ответы:
- •7.5. Частные производные функции трёх переменных
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Частные производные второго порядка функции трёх переменных
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8. Интегралы
- •8.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Решения и ответы:
- •8.1.1. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
- •Подведение функции под знак дифференциала
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Решения и ответы:
- •8.1.2. Интегрирование по частям. Примеры решений
- •8.1.3. Интегралы от логарифмов Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •8.1.4. Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Пример 5
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Решения и ответы:
- •8.1.7. Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Метод замены переменной
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Пример 16
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •Пример 17
- •Пример 18
- •Пример 19
- •8.1.8. Интегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
- •Метод разложения числителя Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Метод выделения полного квадрата
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Подведение числителя под знак дифференциала
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Пример 16
- •8.1.9. Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
- •Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 9
- •Решения и ответы:
- •8.1.10. Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Решения и ответы:
- •8.1.11. Сложные интегралы
- •Последовательная замена переменной и интегрирование по частям Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод сведения интеграла к самому себе
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Интегрирование сложных дробей
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 14
- •Интегрирование сложных тригонометрических функций
- •Пример 15
- •Пример 16
- •Пример 17
- •Пример 18
- •Пример 19
- •Пример 20
- •Пример 25
- •Решения и ответы:
- •8.2. Определенный интеграл. Примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •8.2.1. Замена переменной в определенном интеграле
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •8.2.2. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Решения и ответы:
- •8.2.3. Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8.2.4. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси ox Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси oy
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Решения и ответы:
- •8.3. Несобственные интегралы. Примеры решений
- •8.3.1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •8.3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
- •8.4.1. Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла. Тригонометрическая подстановка
- •Пример 4
- •Пример 5
- •8.4.2. Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •Пример 6
- •8.4.3. Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
- •Пример 7
- •Пример 8
- •8.4.4. Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •8.4.5. Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
- •Пример 12
- •Пример 13
- •8.4.6. Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
- •Решения и ответы:
- •Приложение 1. Числа
- •Приложение 2. Упражнения по элементам финансовой математики
- •Литература Основной список
- •Дополнительный список
Пример 3
Найти
производную от функции, заданной неявно
Полное решение и образец оформления в конце урока.
Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера.
Пример 4
Найти
производную от функции, заданной неявно
.
Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности:
Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного :
Раскрываем скобки:
Теперь нам нужно избавиться от дроби. Это можно сделать и позже, но рациональнее сделать сразу же. В знаменателе дроби находится . Умножаем каждое слагаемое каждой части на . Если подробно, то выглядеть это будет так:
Иногда после дифференцирования появляется 2-3 дроби. Если бы у нас была еще одна дробь, например,
,
то операцию нужно было бы повторить –
умножить
каждое
слагаемое каждой части
на
.
Далее алгоритм работает стандартно, после того, как все скобки раскрыты, все дроби устранены, слагаемые, где есть «игрек штрих» собираем в левой части, а в правую часть переносим всё остальное:
В левой части выносим за скобку:
Окончательный ответ:
.
Пример 5
Найти
производную от функции, заданной неявно
.
Это пример для самостоятельного решения. Единственное, в нём, перед тем как избавиться от дроби, предварительно нужно будет избавиться от трехэтажности самой дроби. Полное решение и ответ в конце урока.
7.1.5. Производная функции, заданной параметрически.
Не
напрягаемся, в этом параграфе тоже всё
достаточно просто. Можно записать общую
формулу параметрически заданной функции,
но, для того, чтобы было понятно, сразу
запишем конкретный пример. В параметрической
форме функция задается двумя уравнениями:
.
Частенько уравнения записывают не под
фигурными скобками, а последовательно:
,
.
Переменная
t
называется параметром и
может принимать значения от «минус
бесконечности» до «плюс бесконечности».
Рассмотрим, например, значение t
=1
и подставим
его в оба уравнения:
.
Или по человечески: «если икс равен
четырем, то игрек равно единице». На
координатной плоскости можно отметить
точку (4; 1), и эта точка будет соответствовать
значению параметра t
=1.
Аналогично можно найти точку для любого
значения параметра «тэ». Как и для
«обычной» функции, для
американских
индейцев и для параметрически
заданной функции все права тоже соблюдены:
можно построить график, найти производные
и т.д.
В
простейших случаях есть возможность
представить функцию в явном виде. Выразим
из первого уравнения параметр:
– и подставим его во второе уравнение:
.
В результате получена обыкновенная
кубическая функция.
В более «тяжелых» случаях, для которых и придумана параметрическая запись, такой фокус не проходит. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:
Находим производную от «игрека по переменной тэ»:
Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы t, таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет. Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».
Находим производную от «икса по переменной тэ»:
Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:
Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра t.
Что
касается обозначений, то в формуле
вместо записи
можно было просто записать
без подстрочного индекса, поскольку
это «обычная» производная «по икс». Но
в литературе всегда встречается вариант
,
поэтому не будем отклоняться от стандарта.