
- •Математика Сборник заданий и упражнений для текущего контроля знаний
- •Содержание
- •Вводная часть
- •В соответствии с гос, предшествующий уровень образования абитуриента должен быть не ниже (полного) среднего общего образования.
- •1. Алгебра высказываний
- •1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат
- •1.2. Основные законы математической логики.
- •Операция отрицания, или отрицание высказывания
- •Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний
- •Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний
- •Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.
- •Операция импликации, или импликация высказываний
- •Порядок старшинства операций
- •Задача 2.
- •2. Матрицы.
- •2.1. Алгебра матриц
- •2) Умножение матрицы на число.
- •2.2. Вычисление определителей
- •2.3. Вычисление обратной матрицы
- •6) Проверка:
- •3. Решение системы линейных уравнений
- •3.1. Решение системы линейных уравнений методом подстановки
- •3.2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
- •3.3. Решение системы по правилу Крамера
- •3.4. Решение системы с помощью обратной матрицы
- •3.5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных)
- •3.6. Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения
- •4. Комплексные числа
- •4.1. Понятие комплексного числа
- •4.2. Алгебраическая форма комплексного числа. Алгебра комплексных чисел
- •4.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
- •Возведение комплексных чисел в степень
- •Извлечение корней из комплексных чисел
- •5. Математические формулы и графики
- •5.1. Математические формулы
- •5.2. Графики и основные свойства элементарных функций
- •Как правильно построить координатные оси?
- •График линейной функции
- •График квадратичной, кубической функции, график многочлена
- •Кубическая парабола
- •График функции
- •График гиперболы
- •График показательной функции
- •График логарифмической функции
- •Графики тригонометрических функций
- •Графики обратных тригонометрических функций
- •6. Пределы функций
- •6.1. Основные методы вычисления пределов
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •6.2. Замечательные пределы.
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •7. Производные функций
- •7.1. Производные функций одной переменной.
- •Пример 1
- •Пример 7
- •4) Производная частного функций
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Решения и ответы:
- •7.1.3. Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции
- •Пример 1
- •Сложные производные
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 12
- •Производная степенно-показательной функции
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Решения и ответы:
- •7.1.4. Производная функции, заданной неявно
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •7.1.5. Производная функции, заданной параметрически.
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Решения и ответы:
- •7.2. Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений
- •Производная функции в точке
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Уравнение касательной к графику функции
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Дифференциал функции одной переменной для приближенных вычислений
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Вторая производная
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Решения и ответы:
- •7.3. Частные производные. Примеры решений
- •Пример 1
- •Особенности вычисления частных производных
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Абсолютная и относительная погрешности вычислений
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Решения и ответы:
- •7.5. Частные производные функции трёх переменных
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Частные производные второго порядка функции трёх переменных
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8. Интегралы
- •8.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Решения и ответы:
- •8.1.1. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
- •Подведение функции под знак дифференциала
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Решения и ответы:
- •8.1.2. Интегрирование по частям. Примеры решений
- •8.1.3. Интегралы от логарифмов Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •8.1.4. Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Пример 5
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Решения и ответы:
- •8.1.7. Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Метод замены переменной
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Пример 16
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •Пример 17
- •Пример 18
- •Пример 19
- •8.1.8. Интегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
- •Метод разложения числителя Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Метод выделения полного квадрата
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Подведение числителя под знак дифференциала
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Пример 16
- •8.1.9. Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
- •Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 9
- •Решения и ответы:
- •8.1.10. Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Решения и ответы:
- •8.1.11. Сложные интегралы
- •Последовательная замена переменной и интегрирование по частям Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод сведения интеграла к самому себе
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Интегрирование сложных дробей
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 14
- •Интегрирование сложных тригонометрических функций
- •Пример 15
- •Пример 16
- •Пример 17
- •Пример 18
- •Пример 19
- •Пример 20
- •Пример 25
- •Решения и ответы:
- •8.2. Определенный интеграл. Примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •8.2.1. Замена переменной в определенном интеграле
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •8.2.2. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Решения и ответы:
- •8.2.3. Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8.2.4. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси ox Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси oy
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Решения и ответы:
- •8.3. Несобственные интегралы. Примеры решений
- •8.3.1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •8.3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
- •8.4.1. Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла. Тригонометрическая подстановка
- •Пример 4
- •Пример 5
- •8.4.2. Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •Пример 6
- •8.4.3. Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
- •Пример 7
- •Пример 8
- •8.4.4. Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •8.4.5. Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
- •Пример 12
- •Пример 13
- •8.4.6. Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
- •Решения и ответы:
- •Приложение 1. Числа
- •Приложение 2. Упражнения по элементам финансовой математики
- •Литература Основной список
- •Дополнительный список
Кубическая парабола
Кубическая парабола задается
функцией
.
Вот знакомый со школы чертеж:
Перечислим
основные свойства функции
Область определения – любое
действительное число:
.
Область значений – любое
действительное число:
.
Функция
является нечётной.
Если функция является нечётной, то ее
график симметричен относительно начала
координат.
Аналитически нечётность
функции выражается условием
.
Выполним проверку для кубической
функции, для этого вместо «икс» подставим
«минус икс»
,
значит, функция
является нечетной.
Функция
не ограничена.
На языке пределов функции это можно
записать так:
,
Кубическую параболу тоже эффективнее строить с помощью таблички:
Наверняка, вы заметили, в
чем ещё проявляется нечетность функции.
Если мы нашли, что
,
то при вычислении
уже не нужно ничего считать, автоматом
записываем, что
.
Эта особенность справедлива для любой
нечетной функции.
Теперь немного поговорим о графиках многочленов.
График любого многочлена
третьей степени
(
)
принципиально имеет следующий вид:
В этом примере коэффициент при старшей степени , поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики многочленов 5-ой, 7-ой, 9-ой и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин».
Многочлены 4-ой, 6-ой и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:
Эти знания полезны при исследовании графиков функций.
График функции
Выполним чертеж:
Основные свойства функции :
Область определения:
.
Область значений:
.
То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти.
Функция
не ограничена
сверху. Или с помощью
предела:
При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело:
На самом деле хочется
разобрать еще примеры с корнями, например,
,
но они встречаются значительно реже.
Мы ориентируемся на более распространенные
случаи, и, как показывает практика,
что-нибудь вроде
приходиться строить значительно чаще.
Если возникнет необходимость выяснить,
как выглядят графики с другими корнями,
то, рекомендую заглянуть в школьный
учебник или математический справочник.
График гиперболы
Основные свойства функции
:
Область определения:
.
Область значений:
.
Запись
обозначает: «любое действительное
число, исключая ноль»
В точке
функция терпит бесконечный разрыв. Или
с помощью односторонних
пределов:
,
.
Немного поговорим об односторонних
пределах. Запись
обозначает, что мы бесконечно
близко приближаемся
по оси
к
нулю слева.
Как при этом ведёт себя график? Он уходит
вниз на минус бесконечность, бесконечно
близко приближаясь
к оси
.
Именно этот факт и записывается пределом
.
Аналогично, запись
обозначает, что мы бесконечно
близко приближаемся
по оси
к нулю справа.
При этом ветвь гиперболы уходит вверх
на плюс бесконечность, бесконечно
близко приближаясь
к оси
.
Или коротко:
.
Прямая, к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции, называется асимптотой.
В данном случае ось
является вертикальной
асимптотой для
графика гиперболы при
.
Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.
Также односторонние пределы , говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу.
Исследуем функцию на
бесконечности:
,
то есть, если мы начнем уходить по оси
влево (или вправо) на бесконечность, то
«игреки» стройным шагом будут бесконечно
близко приближаться
к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы
бесконечно
близкоприближаться
к оси
.
Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции , если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.
Функция
является нечётной,
а, значит, гипербола симметрична
относительно начала координат. Данный
факт очевиден из чертежа, кроме того,
легко проверяется аналитически:
.
График
функции вида
(
)
представляют собой две ветви гиперболы.
Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше).
Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.
Пример 3
Построить правую ветвь
гиперболы
.
Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:
Выполним чертеж:
Не
составит труда построить и левую ветвь
гиперболы, здесь как раз поможет
нечетность функции. Грубо говоря, в
таблице поточечного построения мысленно
добавляем к каждому числу минус, ставим
соответствующие точки и прочерчиваем
вторую ветвь.