3.1. Решение системы линейных уравнений методом подстановки

Этот метод также можно назвать «школьным методом», или методом исключения неизвестных. Образно говоря, его можно также назвать «недоделанным методом Гаусса».

Пример 1:

Решить систему линейных уравнений:

.

Здесь дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные (без x и y), члены (числа 5 и 7) расположены в левой части уравнения. Решение системы не зависит от того, где они изначально находятся, слева или справа. И эта запись не должна приводить в замешательство, при необходимости систему всегда можно записать, «как обычно»:

.

Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак.

Что значит решить систему линейных уравнений?

Решить систему уравнений – значит найти такие значения переменных, которые обращают КАЖДОЕ уравнение системы в тождество (очевидное равенство).

Это утверждение справедливо для любых систем уравнений с любым количеством неизвестных.

Решаем. Из первого уравнения выражаем: x = y – 5.

Полученное выражение (x = y – 5) подставляем во второе уравнение:

2(y – 5) + y +7 = 0.

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение y:

Далее вспоминаем про то, от чего плясали: x = y – 5.

Значение y нам уже известно, осталось найти: x = 1 – 5 = -4.

Ответ: x = -4, y = 1.

После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендуем выполнить проверку на черновике или калькуляторе.

1) Подставляем найденный ответ (x = -4, y = 1) в первое уравнение:

-4-1+5 = 0; 0 = 0 – получено верное равенство.

2) Подставляем найденный ответ (x = -4, y = 1) во второе уравнение:

.

0 = 0 – получено верное равенство. Или, если говорить проще, «всё сошлось».

Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было выразить y, а не x. Можно, наоборот, что-нибудь выразить из второго уравнения (2x + y = -7) и подставить в первое уравнение. Кстати, заметьте, что в данном случае самый невыгодный из четырех способов – выразить x из второго уравнения:

Получаются дроби, а оно зачем? Есть более рациональное решение.

Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. В этой связи обращаем Ваше внимание на то, КАК записано выражение. Не так: , и ни в коем случае не так: .

Если в математике Вы имеете дело с дробными числами, то все вычисления старайтесь проводить в обыкновенных правильных и неправильных дробях.

Именно , а не или ! Запятую можно использовать лишь иногда, в частности, если 3,5 – это окончательный ответ какой-нибудь задачи, и с этим числом больше не нужно выполнять никаких действий.

Многие читатели наверняка подумали «да зачем такое подробное объяснение, как для класса коррекции, и так всё понятно». Ничего подобного, вроде бы такой простой школьный пример, а сколько ОЧЕНЬ важных выводов! Вот еще один:

«Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом».

Хотя бы потому, что это экономит время и нервы, а также снижает вероятность допустить ошибку.

Если в задаче по высшей математике Вам встретилась система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, то всегда можно использовать метод подстановки (если не указано, что систему нужно решить другим методом) Ни один преподаватель не снизит оценку за использование «школьного метода». Более того, в ряде случаев метод подстановки целесообразно использовать и при большем количестве переменных.

Пример 2:

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными

Похожая система уравнений часто возникает при использовании так называемого метода неопределенных коэффициентов, когда мы находим интеграл от дробно-рациональной функции. Рассматриваемая система взята как раз оттуда.

При нахождении интеграла – цель быстро найти значения коэффициентов A, B, C, а не изощряться формулами Крамера, методом обратной матрицы и т.д. Поэтому, в данном случае уместен именно метод подстановки.

Когда дана любая система уравнений, в первую очередь желательно выяснить, а нельзя ли ее как-нибудь СРАЗУ упростить? Анализируя уравнения системы, замечаем, что второе уравнение системы можно разделить на 2, что мы и делаем:

Справка: математический знак обозначает «из этого следует это», он часто используется в ходе решения задач.

Теперь анализируем уравнения, нам нужно выразить какую-нибудь переменную через остальные. Какое уравнение выбрать? Наверное, Вы уже догадались, что проще всего для этой цели взять первое уравнение системы:

Здесь без разницы, какую переменную выражать, можно было с таким же успехом выразить A или B.

Далее, выражение для C подставляем во второе и третье уравнения системы:

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Третье уравнение делим на 2:

Из второго уравнения выразим B и подставим в третьей уравнение:

Практически всё готово, из третьего уравнения находим: 4A+4=0 => A =-1.

Из второго уравнения: B = A – 4 = -1 - 4 = -5. Из первого уравнения: C = 1+5 = 6.

Ответ: A =-1; B = -5; C = 6.

Проверка: Подставим найденные значения переменных в левую часть каждого уравнения системы:

1)

2)

3) . Получены соответствующие правые части уравнений. Таким образом, решение найдено.

Пример 3:

Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).