6) Проверка:

Получена так называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах). Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Перейдём к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три».

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

.

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы B.

1) Находим определитель матрицы.

Здесь определитель раскрыт по первой строке. Также не забываем, что |B| = -1  0, а значит, всё нормально – обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров.

Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел. Подробно рассмотрим парочку миноров.

Рассмотрим элемент матрицы в первой строке и первом столбце:

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:

Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Как Вы, наверное, догадались, подобным образом необходимо вычислить 9 определителей «два на два». Процесс, конечно, мучительный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже. Для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:

Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно. Окончательный результат:

– это матрица миноров соответствующих элементов матрицы B.

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений.

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:

В данном случае: – это матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы B.

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

– это транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы B.

5) Ответ:

Проверка:

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист. Это чтобы студент вычислил 1 определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три».

В ряде учебников, методических указаниях можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, но мы Вам рекомендуем пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что в этом случае вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.

3. Решение системы линейных уравнений

Рассмотрим методы решения системы линейных уравнений. В курсе высшей математики системы линейных уравнений требуется решать как в виде отдельных заданий, например, «Решить систему по формулам Крамера», так и в ходе решения остальных задач. С системами линейных уравнений приходиться иметь дело практически во всех разделах высшей математики.

Сначала немного теории. Что обозначает математическое слово «линейных»? Это значит, что в уравнениях системы все переменные (зависимые и независимые) входят в первой степени: x, y, z без всяких причудливых вещей в виде x², y³, x⁴y, xyz, sin(xy),… и т.п., от которых в восторге бывают только участники математических олимпиад.

В высшей математике для обозначения переменных используются не только знакомые с детства буквы x, y, z. Довольно популярный вариант – переменные с индексами: x₁, x₂, x₃, … . Либо начальные буквы латинского алфавита, маленькие и большие: a, b, c, …, A, B, C. Нередко можно встретить греческие буквы: α, β, γ, δ, … – это известные многим «альфа, бета, гамма, дельта». А также набор с индексами, скажем, с буквой «мю»: μ₁, μ₂, μ₃. Но, как бы ни обозначались переменные, принципы, методы и способы решения системы линейных уравнений от этого не меняются.

Таким образом, если Вам встретится что-нибудь страшное в виде ξ₁₁, ξ₁₂, ξ₁₃, … , то не спешите в страхе закрывать задачник. В конце концов, вместо ξ₁₁ можно нарисовать солнце, вместо ξ₁₂ – птичку, а вместо ξ₁₃ – рожицу (преподавателя). И, как ни смешно, систему линейных уравнений с данными обозначениями тоже можно решить.

С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. По сути дела, начинаем с повторения.