Пример 11
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
.
Полное решение и ответ в конце урока.
8.4.5. Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
Заключительные пункты этой статьи предназначены для читателей, которые хорошо разобрались с несобственными интегралами второго рода на уроке Несобственные интегралы. Примеры решений. Рассмотрим другие несобственные интегралы второго рода. Многие выкладки предыдущего раздела будет справедливы и сейчас.
Сразу конкретная задача:
Пример 12
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
.
Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в обоих концах отрезка интегрирования. Изобразим подынтегральную функцию
на чертёже:
Геометрически данный несобственный интеграл представляет собой площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху.
Методика решения практически такая же, как и в предыдущем параграфе. Представим несобственный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:
Если оба интеграла правой части сходятся, то сходится и весь интеграл.
Если хотя бы один из интегралов правой части расходится, то расходится и весь интеграл. А уж интегралы правой части рассматривались во втором разделе урока Несобственные интегралы. Примеры решений.
Но, вместо этого замечаем, что подынтегральная функция является чётной. Чётность использовать МОЖНО. В этом легко убедиться и по чертежу. Таким образом, интеграл целесообразно споловинить, а результат удвоить. Решаем наиболее рациональным способом:
Подынтегральная функция
терпит бесконечные разрывы в точках
.
Данная функция является чётной, а
интервал интегрирования симметричен
относительно нуля.
Ответ:
;
данный интеграл сходится.
Пример 13
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
.
Это пример для самостоятельного решения. Всё, как и в предыдущем параграфе – нечетностью функции пользоваться НЕ НУЖНО. Аккуратно делим интеграл на две части и исследуем сходимость по типовому алгоритму.
Полное решение и ответ в конце урока.
Не редкость, когда подынтегральная функция не является четной или нечетной, да и отрезок интегрирования не симметричен относительно нуля.
Например, рассмотрим несобственный интеграл
.
Подынтегральная функция опять терпит бесконечные разрывы в обоих концах отрезка интегрирования. Алгоритм такой же, делим интеграл на два интеграла:
Интегралы правой части разобраны на уроке Несобственные интегралы. Примеры решений. Если оба интеграла будут сходиться, то будет сходиться и весь интеграл. Если хотя бы один интеграл правой части расходится, то расходится и весь интеграл.
Кстати, не важно, в каком порядке исследовать сходимость интегралов правой части. Можно сначала исследовать сходимость интеграла
,
а потом (если до этого дойдет), исследовать сходимость первого интеграла правой части.
8.4.6. Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
Такие примеры встречаются на практике относительно редко, поэтому ограничимся только обзором. Пример опять же будет, в известной степени, условным. Рассмотрим несобственный интеграл
.
На концах отрезка интегрирования всё хорошо. Но подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв прямо на отрезке в точке x = 1. Подынтегральная функция является четной, но это не имеет никакого значения, поскольку отрезок интервал интегрирования не симметричен относительно нуля.
Метод решения – тот же старый. Представим несобственный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:
.
Интегралы правой части вам уже знакомы.