Пример 4

Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью с уравнением . Выполним чертёж:

Сначала вычислим площадь круга с помощью известной школьной формулы. Если радиус круга , то его площадь равна: S = π∙r² = π∙2² = 4π ед².

Для того, чтобы вычислить площадь круга с помощью определенного интеграла, необходимо из уравнения выразить функцию «игрек» от «икс» в явном виде:

Верхняя полуокружность задается уравнением .

Нижняя полуокружность задается уравнением .

Можно подставить несколько точек окружности в эти уравнения и убедиться в справедливости вышеизложенных утверждений.

Как вычислить площадь круга? В данном примере круг симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно вычислить площадь одного сектора в 1-ой четверти (заштрихован синим цветом), а затем результат умножить на 4. Таким образом:

.

Такой же, но неопределенный интеграл рассматривался в Примере 6 раздела Сложные интегралы, он решался длительным и трудоёмким методом сведения интеграла к самому себе. Можно пойти тем же путём, но для определенного интеграла существует удобный и эффективный метод тригонометрической замены:

Проведём замену:

Почему именно такая замена, очень скоро станет понятно, а пока найдем дифференциал:

Выясним, во что превратится корень, который распишем очень подробно:

.

Если в ходе решения вы не сможете догадаться применить формулу наподобие , то, увы, получите: «Приходите в следующий раз».

После преобразования корня отчетливо видно, почему проведена замена , особое внимание обращаем на коэффициент при синусе – «двойке», этот коэффициент нужно подбирать таким образом, чтобы при возведении в квадрат всё хорошо вынеслось за скобки и из-под корня.

Осталось вычислить новые пределы интегрирования:

Если , то .

Новый нижний предел интегрирования: .

Новый верхний предел интегрирования: .

Таким образом:

.

Площадь сектора необходимо умножить на 4, следовательно, площадь всей окружности:

Вероятно, у некоторых возник вопрос, зачем вообще мучиться с интегралом, если есть короткая школьная формула S = π∙r²? А дело в том, что возможность очень точно вычислить площадь круга появилась только с развитием математического анализа, хотя уже в древности Архимед площадь круга рассчитывал с приличной точностью.

Разобранный пример можно решить в общем виде, то есть найти площадь круга, ограниченного окружностью произвольного радиуса: . В результате получится как раз формула S = π∙r²!

Следует отметить, что к решению данной задачи можно было применить и другой подход – вычислить площадь верхнего полукруга с помощью интеграла

,

а затем удвоить результат. Но в силу чётности подынтегральной функции решение сводится к оптимальной версии:

.

Еще раз подчеркнём важность проведенной тригонометрической замены, она встретится на практике не раз и не два. Поэтому, для закрепления материала, чуть - более сложное задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить определенный интеграл

.

По условию требуется вычислить определенный интеграл, поэтому чертеж выполнять не нужно. Хорошо подумайте над коэффициентом в замене . Если возникнут трудности с интегралом после замены, вернитесь к уроку Интегралы от тригонометрических функций. Полное решение и ответ в конце урока.