
- •Математика Сборник заданий и упражнений для текущего контроля знаний
- •Содержание
- •Вводная часть
- •В соответствии с гос, предшествующий уровень образования абитуриента должен быть не ниже (полного) среднего общего образования.
- •1. Алгебра высказываний
- •1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат
- •1.2. Основные законы математической логики.
- •Операция отрицания, или отрицание высказывания
- •Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний
- •Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний
- •Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.
- •Операция импликации, или импликация высказываний
- •Порядок старшинства операций
- •Задача 2.
- •2. Матрицы.
- •2.1. Алгебра матриц
- •2) Умножение матрицы на число.
- •2.2. Вычисление определителей
- •2.3. Вычисление обратной матрицы
- •6) Проверка:
- •3. Решение системы линейных уравнений
- •3.1. Решение системы линейных уравнений методом подстановки
- •3.2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
- •3.3. Решение системы по правилу Крамера
- •3.4. Решение системы с помощью обратной матрицы
- •3.5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных)
- •3.6. Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения
- •4. Комплексные числа
- •4.1. Понятие комплексного числа
- •4.2. Алгебраическая форма комплексного числа. Алгебра комплексных чисел
- •4.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
- •Возведение комплексных чисел в степень
- •Извлечение корней из комплексных чисел
- •5. Математические формулы и графики
- •5.1. Математические формулы
- •5.2. Графики и основные свойства элементарных функций
- •Как правильно построить координатные оси?
- •График линейной функции
- •График квадратичной, кубической функции, график многочлена
- •Кубическая парабола
- •График функции
- •График гиперболы
- •График показательной функции
- •График логарифмической функции
- •Графики тригонометрических функций
- •Графики обратных тригонометрических функций
- •6. Пределы функций
- •6.1. Основные методы вычисления пределов
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •6.2. Замечательные пределы.
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •7. Производные функций
- •7.1. Производные функций одной переменной.
- •Пример 1
- •Пример 7
- •4) Производная частного функций
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Решения и ответы:
- •7.1.3. Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции
- •Пример 1
- •Сложные производные
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 12
- •Производная степенно-показательной функции
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Решения и ответы:
- •7.1.4. Производная функции, заданной неявно
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •7.1.5. Производная функции, заданной параметрически.
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Решения и ответы:
- •7.2. Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений
- •Производная функции в точке
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Уравнение касательной к графику функции
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Дифференциал функции одной переменной для приближенных вычислений
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Вторая производная
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Решения и ответы:
- •7.3. Частные производные. Примеры решений
- •Пример 1
- •Особенности вычисления частных производных
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Абсолютная и относительная погрешности вычислений
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Решения и ответы:
- •7.5. Частные производные функции трёх переменных
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Частные производные второго порядка функции трёх переменных
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8. Интегралы
- •8.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Решения и ответы:
- •8.1.1. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
- •Подведение функции под знак дифференциала
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Решения и ответы:
- •8.1.2. Интегрирование по частям. Примеры решений
- •8.1.3. Интегралы от логарифмов Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •8.1.4. Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Пример 5
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Решения и ответы:
- •8.1.7. Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Метод замены переменной
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Пример 16
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •Пример 17
- •Пример 18
- •Пример 19
- •8.1.8. Интегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
- •Метод разложения числителя Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Метод выделения полного квадрата
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Пример 12
- •Пример 13
- •Подведение числителя под знак дифференциала
- •Пример 14
- •Пример 15
- •Пример 16
- •8.1.9. Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
- •Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 9
- •Решения и ответы:
- •8.1.10. Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Решения и ответы:
- •8.1.11. Сложные интегралы
- •Последовательная замена переменной и интегрирование по частям Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Метод сведения интеграла к самому себе
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Интегрирование сложных дробей
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 14
- •Интегрирование сложных тригонометрических функций
- •Пример 15
- •Пример 16
- •Пример 17
- •Пример 18
- •Пример 19
- •Пример 20
- •Пример 25
- •Решения и ответы:
- •8.2. Определенный интеграл. Примеры решений
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •8.2.1. Замена переменной в определенном интеграле
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •8.2.2. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Решения и ответы:
- •8.2.3. Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8.2.4. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси ox Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси oy
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Решения и ответы:
- •8.3. Несобственные интегралы. Примеры решений
- •8.3.1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •8.3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Решения и ответы:
- •8.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
- •8.4.1. Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла. Тригонометрическая подстановка
- •Пример 4
- •Пример 5
- •8.4.2. Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •Пример 6
- •8.4.3. Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
- •Пример 7
- •Пример 8
- •8.4.4. Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
- •Пример 9
- •Пример 10
- •Пример 11
- •8.4.5. Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
- •Пример 12
- •Пример 13
- •8.4.6. Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
- •Решения и ответы:
- •Приложение 1. Числа
- •Приложение 2. Упражнения по элементам финансовой математики
- •Литература Основной список
- •Дополнительный список
Пример 1
Вычислить определенный интеграл
.
О чётности функции много говорилось в методическом материале Графики и свойства элементарных функций. Повторим ещё раз: функция является чётной, если для неё выполняется равенство f(-x) = f(x).
Как проверить функцию на чётность? Нужно вместо x подставить -x.
В данном случае:
и
.
Значит, данная функция является чётной.
Согласно правилу, на симметричном относительно нуля отрезке [-2; 2] наш интеграл от чётной функции можно вычислить следующим образом:
А сейчас геометрическая интерпретация. Да, продолжаем мучить несчастную параболу….
Любая чётная функция, в частности , симметрична относительно оси OY:
Определенный интеграл
численно равен площади плоской фигуры, которая заштрихована зеленым цветом. Но, в силу чётности подынтегральной функции, а, значит, и симметричности её графика относительно оси OY, достаточно вычислить площадь фигуры, заштрихованной синим цветом, а результат – удвоить. Одинаковые половинки есть геометрическое выражение свойства четности. Именно поэтому справедливо действие
.
Аналогичная история происходит с любой чётной функцией f(x) по симметричному относительно нуля отрезку:
.
Некоторые скажут: «Да зачем это всё нужно, можно ведь и так вычислить определенный интеграл». Можно. Давайте вычислим:
Но удобно ли было подставлять отрицательный нижний предел? Не очень-то. Кстати, ненулевой процент студентов допустит ошибку в знаках. Гораздо проще и приятнее подставить ноль. Заметим, что это еще был простой демонстрационный пример, на практике всё бывает хуже.
Кроме того, рассматриваемый прием часто применяется при вычислении двойных интегралов, тройных интегралов, где вычислений и так хватает.
Короткий пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Вычислить определенный интеграл
.
Полное решение и ответ в конце урока.
Обратите внимание, что когда вам предложено просто вычислить определенный интеграл, то чертеж выполнять не нужно! Рисунок к Примеру 1 дан только для того, чтобы было понятно правило. Как раз данному моменту посвящена следующая простая задачка:
Пример 3
3.1. Вычислить определенный интеграл
.
3.2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
,
и осью OX
на интервале
.
Это две разные задачи! Сначала разберемся с первым пунктом:
1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:
.
Определенный интеграл получился отрицательным и так бывает!
Теперь найдем площадь плоской фигуры. Вот здесь без чертежа обойтись трудно:
На отрезке
график функции расположен ниже оси
OX,
поэтому:
Площадь не может быть отрицательной, именно поэтому в формуле вычисления площади добавляют минус (см. также Пример 3 из раздела 7.2.3.).
Заметьте, что чётность косинуса никто не отменял, поэтому мы опять разделили отрезок и удвоили интеграл.
Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла. Тригонометрическая подстановка
Это очень важная задача, поскольку будет рассмотрен типовой интеграл и приём решения, который неоднократно встретится в будущем.
Но сначала небольшое
напоминание по уравнению окружности.
Уравнение вида
задаёт окружность с центром в точке
радиуса
.
В частности, уравнение
задаёт окружность радиуса
с центром в начале координат, в точке
(0; 0).