Решения и ответы:
Пример 4: Решение:
.
Подынтегральная функция
непрерывна на
.
Пример 5: Решение:
.
Подынтегральная функция непрерывна на .
.
Несобственный интеграл расходится.
Пример 7: Решение:
Подынтегральная функция
терпит бесконечный разрыв в точке
Несобственный интеграл расходится.
Примечание: с пределом выражения
можно разобраться следующим
образом: вместо
подставляем (-1)+0:
Пример 8: Решение:
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке
Примечание: Разбираемся
в пределе выражения
.
Если
,
то
(см. график логарифмической функции!), тогда:
.
Именно эти соображения и помечаются, как
.
Пример 10: Решение:
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке b = 1
Пример 11: Решение:
.
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке
.
Несобственный интеграл расходится
Примечание: Разбираемся в пределе выражения
.
Если
,
то
,
и тогда
.
Будьте очень внимательны в знаках!
8.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
Данный раздел содержит дополнительные материалы по методам решения определенных и несобственных интегралов. Предполагается, что читатель владеет средними или высокими навыками интегрирования. Если это не так, пожалуйста, начните с азов: Неопределенный интеграл, примеры решений.
Где неопределенный интеграл – там неподалёку и Определенный интеграл, с формулой Ньютона-Лейбница вы тоже должны быть знакомы не понаслышке. Кроме того, уметь решать простейшие задачи на вычисление площади плоской фигуры (см. 7.2.3.) и на вычисление объёма тела вращения (см. 7.2.4.).
Урок предназначен для тех, кто хочет научиться быстрее и эффективнее решать определенные и несобственные интегралы. Сначала рассмотрим особенности интегрирования четной и нечетной функции по симметричному относительно нуля интервалу. Затем мы разберем задачу о нахождении площади круга с помощью определенного интеграла. Эта задача важна еще и тем, что знакомит вас с распространенным приемом интегрирования определенного интеграла – тригонометрической подстановкой. Она еще нигде не рассматривалась – новый материал!
Аналогично, рассмотрим несобственные интегралы от четных и нечетных функций по симметричному интервалу. В том числе, более редкие типы несобственных интегралов, которые не вошли в основной материал предыдущих разделов: когда нижний предел стремится к «минус бесконечности», когда оба предела стремятся к бесконечности, когда в обоих концах отрезка интегрирования функция терпит бесконечный разрыв (это уже интеграл второго рода). И совсем редкий несобственный интеграл – с точкой разрыва на отрезке интегрирования.
8.4.1. Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
Рассмотрим определенный интеграл вида
.
Легко заметить, что отрезок интегрирования [-c; c] симметричен относительно нуля.
Если подынтегральная функция f(x) является чётной, то интеграл
можно вычислить по половине отрезка, а результат – удвоить:
.
Многие догадались, почему это так, но рассмотрим конкретный пример с чертежом: