Пример 1

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Для наглядности построим чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно.

Подынтегральная функция (y = 1/x) непрерывна на интервале [1; +∞). Попробуем вычислить несобственный интеграл «штатным» методом.

Применение нашей формулы

и решение задачи выглядит так:

То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности (не существует).

В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применяется эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы x «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».

Если Вам непонятно, почему при , то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции.

При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:

Подынтегральная функция непрерывна на «полубесконечном» интервале .

Несобственный интеграл расходится.

При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией на границах интервала. Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла.

Если Вам встретится интеграл вроде

,

то с вероятностью, близкой к 100%, можно сказать, что это опечатка. Здесь подынтегральная функция не является непрерывной, на интервале интегрирования , она терпит разрыв в точке . Теоретически и практически допустимо вычислить два несобственных интеграла на интервалах и , а потом их сложить, но со здравой точки зрения такая вещь выглядит довольно абсурдно. Опечатка.

Иногда вследствие опечатки несобственного интеграла может вообще не существовать. Например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть интервала интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.

Всегда смотрим и записываем, является ли подынтегральная функция непрерывной на интервале интегрирования.

Пример 2

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

.

Выполним чертеж:

Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция

непрерывна на интервале . Хорошо. Решаем с помощью формулы

:

.

(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

(3) Указываем, что , если (это нужно понимать) и упрощаем ответ.

Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

Подынтегральная функция непрерывна на полубесконечном интервале

.