Теперішня вартість

Потоки видатків і доходів, затрачених і отриманих пізніше, являють собою меншу вартість, ніж потік видатків і доходів, затрачених і отриманих раніше.

Методом, який дозволяє привести видатки і доходи, затрачені і отримані в різні моменти розрахункового періоду до порівняння на початок цього періоду, є метод дисконтування, який базується на перемноженні номінальної вартості потоків видатків і доходів в різні періоди (роки) на відповідні коефіцієнти дисконтування.

Фінансовому менеджерові необхідно аналізувати теперішню вартість майбутніх доходів у таких, зокрема, випадках:

1) одноразові сплати, що їх сподіваються отримати у визначений момент у майбутньому;

2) потоки доходів (сплат), які сподіваються отримувати періодично (щорічно) протягом певного (обмеженого) періоду (років);

3) потоки доходів (сплат), що їх сподіваються отримувати щорічно, теоретично на протязі нескінченного терміну (довічна рента).

Якщо дохід сподіваються отримати в період (рік) Т, то теперішня вартість на момент t = 0 визначається за формулою:

Якщо нас цікавить вартість доходу на момент t = k, який отримано в період Т («теперішня» вартість в період t = k), то її можна визначити за формулою:

Теперішня вартість очікуваного потоку доходів залежить від розподілу щодо отримання цих доходів в часі, а також норми дисконту. Якщо є дані про суми FV_t, які сплачуються в t-му проміжку часу в майбутньому, то теперішню вартість майбутнього потоку доходів можна обчислити за формулою:

. (6)

Обчислення теперішньої вартості потоку грошових доходів за формулою (6) сподіваних у майбутньому на протязі певної кількості років є найчастіше використовуваним у фінансовому менеджменті випадком врахування чинників часу та ризику. Більшість рішень, що їх приймають інвестори, стосується порівняння обсягів сьогоднішніх затрат взамін на потік сподіваних доходів протягом певної кількості років у майбутньому.

Це стосується, зокрема, інвестиційних проектів, що їх збирається реалізувати фірма (підприємство), а також купівлі акцій, облігацій тощо.



Приклад 9. Нехай сподіваються одержати 1 млн. гривень. Необхідно визначити теперішню вартість цього доходу залежно від терміну, через який він надійде, та від величини ставки дисконту. Нехай термін приймає два різних значення: Т = 10 та Т = 15, а ставка дисконту може прийняти одне з трьох значень (5%; 8%; 10%).

Розв’язання. Користуючись формулою (10.2), одержимо такі результати:

T = 10

T — k	k	R = 5%	R = 8%	R = 10%
0	10	1000000	1000000	1000000
5	5	783527	680583	620921
10	0	613913	463193	385543

T = 15

T — k	k	R = 5%	R = 8%	R = 10%
0	15	1000000	1000000	1000000
10	5	613913	463193	385543
15	0	481017	315242	239392

На рис. 3 ці результати подано у графічній формі._-

Рис. 3. Визначення теперішньої вартості сподіваного доходу

Якщо здійснюється послідовність однакових за обсягом виплат за певні проміжки часу (рівномірно), то такий потік доходів називається анюїтетом. Кожна окрема виплата, що входить до складу анюїтету, називається його членом.

Теперішня вартість Т-річного анюїтету обчислюється за формулою:

(7)

де FV — сума, що сплачується за певний проміжок часу.



Приклад 10. Що вигідніше: одержати 50 тис. гривень відразу готівкою чи отримувати щорічно по 12 тис. гривень протягом 5 років за умови, що річна ставка становить 10%.

Розв’язання. Теперішню вартість анюїтету, враховуючи, що FV = 12000, T = 5, знайдемо за формулою (7):

Оскільки 50000 > 45489, то вигідніше вибрати варіант, що передбачає отримання відразу 50 тис. гривень готівкою.

При обчисленні теперішньої вартості довічної ренти (анюїтету), коли сподіваний щорічний дохід, очікуваний у майбутньому, приймають як сталу незалежну від часу величину FV_t = FV, згідно з (7) маємо (з урахуванням того, що R > 0):

,

тобто

PV = FV/R. (8)

Формула (8) для обчислення теперішньої вартості сподіваного потоку доходів застосовується до тих інвестицій, які не мають окресленого терміну існування (зростання). Типовим випадком таких інвестицій є купівля привілейованих акцій, які приносять їх власникові сталий щорічний дохід.

Застосовують також формулу:

PV₀ = D/R_П ,

де PV₀ — теперішня ціна привілейованої акції, D — дивіденд від привілейованої акції, R_П — задана (обрана) інвестором норма доходу від привілейованої акції (норма дисконту) з урахуванням ризику.

Теперішня вартість звичайної акції визначається з урахуванням наступного:

• величини майбутніх прибутків (дивідендів), що припадають на 1 акцію;

• ціни, яку сподіваються отримати від її продажу.

Часто вартість звичайної акції обчислюють як теперішню вартість потоку дивідендів, отримуваних, починаючи з періоду t₁ до нескінченності:

, (9)

де D_t — сподівані дивіденди від звичайної акції, R — встановлена інвестором норма прибутків від звичайної акції (норма дисконту) з урахуванням ризику.

На практиці здебільшого користуються модифікацією (9), закладаючи стале зростання майбутніх дивідендів. У цьому випадку одержимо:

, (10)

де g — норма зростання дивідендів.

У цьому випадку приймають гіпотезу про те, що ціна звичайної акції залежить від величини дивідендів, яку сподіваються одержати в кінці періоду t₁ та норми зростання дивідендів в наступних періодах. Норма зростання, в свою чергу, залежить від кількох чинників, зокрема, від прибутковості власного капіталу тощо.

Приклад 11. Нехай нетто-прибуток на одну акцію в кінці періоду t₁ становить 25 коп. Задана норма доходу інвестицій з таким же ступенем ризику становить 15%, норма зростання дивідендів становить 8%.



Необхідно обчислити економічно обгрунтовану ціну цієї акції.

Розв’язання. Використовуючи формулу (10), одержимо:

PV₀ = 25/(0,15 — 0,08) = 25/0,07 = 357,14 (коп.)._-