Теорема отсчетов

Теорема отсчетов Котельникова и Найквиста-Шеннона интерполяционная формула Уиттекера-Шеннона, частота Найквиста.

Теорема Котельникова гласит: "Что если аналоговый сигнал x(t) имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим отсчетам взятым с частотой строго больше удвоенной верхней частоты f_с, f >2f_c, то есть если частота дискретизации превышает исходный минимум в 2 раза то исходный сигнал можно восстановить полностью, а не просто без значительных искажений и посторонних эффектов"

Спектр - распределение значений физической величины. (Энергии частоты или массы). Графическое представление такого распределения называется спектральной диаграммой.

Такая трактовка теоремы рассматривает идеальный случай - когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится и на всем протяжении не имеет точек разрыва. Именно это подразумевает понятие спектр ограниченной частотой f(c).

Разумеется реальные сигналы (например звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, их спектр бесконечен. В таком случае полное восстановление сигнала не возможно и из теоремы Котельникова вытекают два следствия:

1) Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчетам взятым с частотой f >2f_c где f_c максимальная частота которой ограничен спектр реального сигнала.

2) Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Интерполяция

В вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по известному набору дискретных значений.

Интерполяционная формула Уиттекера-Шеннона

- Служит для восстановления непрерывного сигнала с ограниченным спектром из последовательности равноотстоящих отсчетов.

Теорема отсчетов гласит что при некоторых ограничивающих условиях функция x(t) может быть восстановлена из её дискретизации x[n]=x(nT) согласно интерполяционной формуле Уиттекера-Шеннона.

∞

x

I=1

(t) = ∑ x[n]*sinc(t-nT/T)

где T- период дискретизации и равен 1/f_c

sinc - нормализированная синк функция, математическая функция, называется она - кординальный синус.

В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как

sin(Пx)/Пx, x<>0

s

1, x=0

inc(x)=

Значения функции в особой точке x = 0 явным образом задается равным 1.

28.11.13.

Частота Найквиста

В цифровой обработке сигналов частота равная половине частоты дискретизации.

Названа в честь Гарри Найквиста. Из теоремы Котельникова следует что при дискретизации аналогового сигнала потерь информации не будет только в том случае если спектр сигнала (наивысшая частота полезного сигнала) равен или ниже частоты Найквиста. В противном случае восстановление аналогового сигнала будет иметь место наложение спектральных хвостов (подмена и маскировка частот) и форма восстановленного сигнала будет искажена.

Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста то он может быть (теоретически) продискретизирован, а затем восстановлен без искажений.

Фактически оцифровка сигнала то есть превращение аналогового сигнала в цифровой сопряжена с квантованием отсчетов. Каждый отсчет записывается в виде цифрового кода конечной разрядности, в результате чего к отсчетам добавляются ошибки квантования (округления). При определенных условиях рассматриваемые как шум квантования.

22