Приклади розв’язку задач

Приклад 1. Два паралельні нескінченно довгі провідники, по яких течуть в одному напрямку електричні струми силою 60 А, розташовані на відстані 10 см один від одного. Визначити магнітну індукцію поля, створеного провідниками зі струмом у точці А, що знаходяться від одного проводу на відстані 5 см, а від іншого – 12 см (рис. 4.1).

Рис. 4.1.

Дано: I = 60 A, d = 0.1 м, r ₁ =5·10^–2 м, r ₂ = 12·10^–2 м.

Знайти: B.

Розв’язок. Відповідно до принципу суперпозиції магнітна індукція в шуканій точці визначається як векторна сума магнітних індукцій і полів, створених кожним провідником окремо. . Модуль вектора може бути знайдений з теореми косинусів

.

У свою чергу В₁ і В₂ визначаються формулами

; .

Після підстановки цих виразів знайдемо

.

Обчислимо з трикутника АСD, де кут DAC = (як кути, утворені взаємно перпендикулярними сторонами)

.

Звідси

.

Обчислення.

Тл.

Відповідь: B = 3,08·10^-4 Тл.

Приклад 2. Ізольований прямолінійний провідник зігнутий під прямим кутом із стороною, довжина якої 20 см. У площині кута поміщений кільцевий провідник радіусом 10 см так, що сторони кута є дотичними до кільцевого (рис. 4.2а). Знайти індукцію у центрі кільця. Сили струмів у провідниках дорівнюють 2 А.

Рис. 4.2.

Дано: l = 0,2 м, r₀ = 0,1 м; ; I₁ = I₂ = I = 2 A.

Знайти: В.

Розв’язок. Магнітна індукція поля в точці М відповідно до принципу суперпозиції визначається векторною сумою магнітних індукцій полів кільцевого і прямолінійного провідників зі струмом. Індукція в центрі кільцевого провідника .

Індукція, створена в точці М відрізком АВ прямого провідника на відстані r₀ від нього дорівнює (рис. 4.2б): .

Цю формулу в деяких випадках зручно записувати у виді

.

За умовою задачі індукція від двох сторін кута складає

.

Правило правого гвинта дозволяє встановити, що напрямок векторів індукцій полів В₁ і В₃, створених провідниками, збігаються, тому результуюча індукція в центрі кільця дорівнює їх алгебраїчній сумі

.

Обчислення.

Тл.

Відповідь: B = 15,32·10^-4 Тл.

Приклад 3. Протон, що пройшов прискорюючу різницю потенціалів 600 В, влетів в однорідне магнітне поле з індукцією 0,3 Тл і почав рухатися по колу. Обчислити радіус кола.

Дано: U = 600 B; B = 0,3 Тл; = 90⁰; m = 1,67·10^–27 кг.

Знайти: R.

Розв’язок. У магнітному полі з індукцією на заряд, що рухається, діє сила Лоренца . Рух заряду буде відбуватися по колу тільки в тому випадку, коли частинка влітає у магнітне поле перпендикулярно лініям магнітної індукції , тобто . Тоді . Ця сила перпендикулярна векторові швидкості і надає частинці доцентрове прискорення .

Відповідно до другого закону Ньютона можна записати , звідки . Кінетичну енергію протон набуває за рахунок роботи сил електричного поля , тому і . Підставляючи знайдену швидкість у вираз для радіуса R, одержимо

.

Обчислення.

м = 11,8 мм.

Відповідь: R = 11,8 м.

Приклад 4. Коротка котушка, що містить 1000 витків, рівномірно обертається з частотою 10 об/с відносно осі, що лежить у площині котушки і перпендикулярна до ліній однорідного магнітного поля з індукцією 0,04 Тл (рис. 4.3). Визначити миттєве значення ЕРС індукції для тих моментів часу, коли площина котушки складає кут 600 з лініями поля. Площа котушки дорівнює 100 см2.

Рис. 4.3.

Дано: N = 10³, n = 10 об/с, B = 0,04 Тл, S = 10^-2 м².

Знайти: .

Розв’язок. Миттєве значення ЕРС індукції визначається основним рівнянням електромагнітної індукції Фарадея-Максвелла

.

При обертанні котушки магнітний потік змінюється за законом . Підставляючи вираз магнітного потоку у формулу для і диференціюючи за часом, знайдемо

.

З огляду на те, що кутова швидкість пов’язана з частотою обертання n і що кут , одержимо

.

Зробимо обчислення.

В.

Відповідь: В.

Приклад 5. Прямолінійний провідник, довжиною 1,2 м, з’єднаний із джерелом струму, ЕРС якого 24 В и внутрішній опір 0,5 Ом. Провідник знаходиться в однорідному магнітному полі з індукцією 0,8 Тл. Знайти струм у колі, якщо провідник рухається перпендикулярно лініям індукції поля з швидкістю 12,5 м/с. У скільки разів зміниться величина струму в колі, якщо провідник зупиниться? Опір усього зовнішнього кола прийняти за 2,5 Ом. Магнітним полем струму у провіднику знехтувати.

Дано: l = 1,2 м; 24 В; r = 0,5 Ом; R = 2,5 Ом; B = 0,8 Тл; 12,5 м/с. Знайти: Розв’язок. Сила струму в провіднику визначається ЕРС джерела і різницею потенціалів, що виникає на кінцях провідника при його русі в напрямку, перпендикулярному до ліній магнітної індукції, тобто

Рис. 4.4.

.

У залежності від напрямку руху провідника може або додавався до джерела, або відніматися. Тоді

А; А; А.

Якщо провідник зупиниться, то А. Таким чином, при зупинці провідника струм або збільшується в 2 рази, або зменшується в 1,5 рази.

Приклад 6. Дротяна квадратна рамка із стороною 5 см і опором 10 Ом знаходиться в однорідному магнітному полі з індукцією 40 мТл. Нормаль до площини рамки складає кут 30⁰ з лініями магнітної індукції. Визначити заряд, що пройде по рамці, якщо магнітне поле виключити.

Дано: a = 5·10^–2 м, R = 10^–2 Ом, В = 4·10^–2 Тл, = 30⁰.

Знайти: q.

Розв’язок. При вимиканні магнітного поля внаслідок зміни магнітного потоку в рамці наводиться ЕРС індукції , яка викликає індукційний струм. Відповідно до закону Ома для повного кола

або .

З урахуванням того, що запишемо .

Проінтегрувавши цей вираз, знайдемо

або .

За умовою задачі Ф₂ = 0, а і S = a² , тому запишемо

.

Зробимо обчислення.

Кл.

Відповідь: q = 8,67·10^-3 Кл.

Приклад 7. Виток радіусом 2 см, по якому тече струм у 10 А, вільно встановився в однорідному магнітному полі з індукцією 1,5 Тл. Лінії індукції перпендикулярні до площини витка. Визначити роботу зовнішніх сил при повороті витка на кут 90⁰ навколо осі, що збігає з діаметром витка.

Дано: I = 10 A; B = 1,5 Тл; r = 0,02 м; = 90⁰.

Знайти: А.

Розв’язок. На виток зі струмом діє обертовий момент , де магнітний момент .

У початковому положенні, відповідно до умови задачі, виток вільно установився в магнітному полі, отже, вектори і збігаються за напрямками, тобто і М = 0.

При дії зовнішніх сил виток виходить з початкового положення. При цьому зовнішні сили виконують роботу проти цього моменту, що є перемінним і залежить від кута повороту

або .

Проінтегрувавши цей вираз, знайдемо роботу, виконану при повороті витка на кінцевий кут

.

Зробимо обчислення.

Дж.

Відповідь: А = 18,84·10^-3 Дж.

Приклад 8. Соленоїд із сердечником з немагнітного матеріалу містить 1200 витків проводу, що щільно прилягають один до одного. При силі струму 4 А магнітний потік дорівнює 6 мкВб. Визначити індуктивність соленоїда і енергію магнітного поля соленоїду.

Дано: N = 1200; I = 4 A; Ф = 6·10^–6 Вб.

Знайти: L, W_m.

Розв’язок. Індуктивність пов’язана з потокозчепленням і силою струму співвідношенням

.

Враховуючи, що , то .

Енергія магнітного поля соленоїда .

Підставивши вираз для індуктивності, одержимо

.

Зробимо обчислення.

Гн = 1,8 мГн.

Дж = 14,4 мДж.

Відповідь: L = 1,8·10^-3 Гн = 1,8 мГн; W_m = 1,44·10^-2 Дж = 14,4 мДж.

Приклад 9. Матеріальна точка масою 10 г виконує коливання з періодом 1 с. Початкова фаза коливань 30⁰. Визначити амплітуду коливань, максимальні швидкість і прискорення точки, що коливається, а також найбільше значення сили, що діє на точку, якщо максимальна кінетична енергія дорівнює 0,02 Дж.

Дано: m = 10^–2 кг, Т = 1 с, , W_{k max} = 0,02 Дж.

Знайти: А, , a_max.

Розв’язок. Повна енергія точки, що коливається, дорівнює сумі кінетичної і потенціальної енергії; вона дорівнює максимальній кінетичній або максимальній потенційній енергії. Повна енергія гармонічного коливання визначається формулою , звідки

.

З огляду на те, що , одержимо

м.

Запишемо рівняння гармонічних коливань

,

де А = 0,32 м, с^–1, .

Швидкість визначається як перша похідна від зміщення за часом , а м/с (з урахуванням того, що ).

Прискорення – перша похідна від швидкості за часом

.

Припускаючи, що , знайдемо

= 12,62 м/с².

Частинка робить гармонічні коливання під дією квазіпружної сили , де k – коефіцієнт квазіпружної сили, х – зміщення точки, що коливається. Сила буде мати максимальне значення при зміщенні x_max, яке дорівнює амплітуді

.

Коефіцієнт k зв’яжемо з періодом коливань

.

Тоді

;

Н.

Відповідь: м/с; м/с²; Н.

Приклад 10. Точки, що коливаються, віддалені від джерела коливань на відстань 1 м і 1,21 м у напрямку поширення хвилі. Різниця фаз коливань /4, частота коливань джерела 200 с^–1. Визначити довжину хвилі і швидкість її поширення.

Дано: х₁ = 1 м; х₂ = 1,21 м, , =2·10² с^–1.

Знайти: , .

Розв’язок. З рівняння хвилі, що біжить, для коливання в точках х₁ і х₂ можна записати

,

.

Знайдемо різницю фаз коливань .

З огляду на те, що , одержимо , звідки

; м.

Швидкість поширення хвилі

м/с.

Відповідь: м; м/с.

Приклад 11. Різниця потенціалів на обкладках конденсатора в коливальному контурі змінюється з часом за законом . Електроємність конденсатора 0,5 мкФ. Визначити період власних коливань, індуктивність, енергію контуру і максимальну силу струму, що тече в котушці індуктивності.

Дано: U = 100sin1000 t; С = 0,5·10^–6 Ф.

Знайти: Т, L, W, I_max.

Розв’язок. Напруга на обкладках конденсатора змінюється за гармонічним законом , де U₀ – амплітудне (максимальне) значення напруги; – власна циклічна частота коливань, що пов’язана з періодом коливань .

Звідси с.

З формули Томсона для періоду власних коливань у контурі знайдемо індуктивність , тому

; Гн = 0,2 Гн.

Енергія контуру – це сума електричної і магнітної енергій, і дорівнює максимальній енергії поля конденсатора або максимальній енергії котушки індуктивності .

W = 0,5·10^-6·100²/2 = 2,5·10^-3 Дж.

Знаючи повну енергію, можна визначити максимальну силу струму, що протікає в котушці

; А.

Відповідь: T = 0,002 с; Гн; W = 2,5·10^-3 Дж; I_max = 0,15 А.

Приклад 12. Відстань між двома когерентними джерелами 0,9 мм. Джерела посилають монохроматичне світло з довжиною хвилі 640 нм на екран, розташований від них на відстані 3,5 м. Визначити число світлих смуг на 1 см довжини. Дано: d = 9·10–4 м, = 6,4·10–7 м, L = 3,5 м, х = 10–2 м.

Рис. 4.5.

Знайти: k/х.

Розв’язок. У точці О на екрані (рис. 4.5) буде максимальна освітленість. Ця точка рівновіддалена від обох джерел S₁ і S₂, тому різниця ходу променів S₁O і S₂O дорівнює нулю. У довільній точці О₁ максимум освітленості буде спостерігатися, якщо різниця ходу променів дорівнює цілому числу довжин хвиль , де k – номер світлої смуги. З рисунка видно, що , звідки і тому . Звідси число світлих інтерференційних смуг, що припадають на одиницю довжини

.

Підставляючи числові дані, одержимо

м^-1.= 4 см^-1.

Відповідь: см^-1.

Приклад 13. На скляний клин нормально до його грані падає монохроматичне світло з довжиною хвилі 0,6 мкм. Число інтерференційних смуг, що припадає на 1 см, дорівнює 10. Визначити заломлюючий кут клина (n = 1,5).

Рис. 4.6.

Дано: n = 1,5; i = 0⁰; = 6·10^–7 м; l = 10^–2 м; N = 10.

Знайти: .

Розв’язок. Паралельний пучок променів, падаючи нормально до грані клина, відбивається як від верхньої, так і від нижньої граней. Ці промені когерентні і тому спостерігається стійка інтерференційна картина при їхньому накладенні. Різниця ходу променів визначається формулою

. (1)

Темні смуги спостерігаються на тих ділянках клина, для яких різниця променів кратна непарному числу напівхвиль

. (2)

Дорівнявши праві частини рівнянь (1) і (2) одержимо

.

Оскільки кут падіння i = 0 (sini = 0), то , звідки , де d_k – товщина клина в тому місці, де спостерігається темна смуга, що відповідає номеру k. Сусідня темна смуга з номером (k + 1), що відповідає товщині клина d_k+1 , знаходиться на відстані l/N. (рис. 4.6), .

На рисунку бачимо, що пошукуваний кут (через його малість, можна вважати ) , або .

Підставивши числові дані, одержимо

рад.; .

Відповідь: .

Приклад 14. На дифракційну ґратку нормально падає паралельний пучок променів з довжиною хвилі 500 нм. На екрані, паралельному дифракційній ґратці і віддаленому від неї на 1 м, спостерігається дифракційна картина. Відстань між максимуму першого порядку на екрані дорівнює 20,2 см. Визначити сталу дифракційної ґратки, число штрихів на 1 см, число максимумів, що дає дифракційна ґратка, макси-

Рис. 4.7.

мальний кут відхилення променів, що відповідає останньому дифракційному максимуму.

Дано: λ = 5·10^–7 м, L = 1 м, k = 1, l = 0,202 м.

Знайти: d, N, k_max, .

Розв’язок. Умова максимуму при дифракції від ґратки має вид . У цій задачі порядок спектра k = 1, а (зазначене наближення має місце, тому що ). Тоді , звідки стала ґратки . Підставивши числові дані, одержимо

м.

Число штрихів на одиниці довжини знайдемо з формули

м^-1 = 2020 см^-1.

Для визначення числа максимумів, яке дає дифракційна ґратка, обчислимо максимальне значення k, яке визначимо з тієї умови, що максимальний кут відхилення променів дифракційними ґратками не може перевищувати 90⁰.

.

Оскільки число максимумів k повинно бути тільки цілим числом, то k = 9 (k не може прийняти значення 10, тому що при цьому ).

Підрахуємо число максимумів, яке дає дифракційна ґратка: вліво і вправо від центрального максимуму, для котрого k = 0, буде спостерігатися однакове число максимумів, що дорівнює k_max, тобто всього 2k_max. З огляду на центральний (нульовий) максимум, одержимо загальне число максимумів M = 2k_max + 1, тобто M = 2·9+1 = 19.

Найбільший кут відхилення променів, що відповідає останньому дифракційному максимуму знайдемо у такий спосіб

, тобто

Відповідь: d = 4,95·10^-6 м; N = 2020 см^-1; ;

Приклад 15. Природне світло падає на поліровану поверхню скляної пластини, зануреної в рідину. Відбитий від пластини промінь утворює кут 97⁰ з падаючим променем. Визначити показник заломлення рідини, якщо відбитий промінь максимально поляризований.

Дано: i_б = 97⁰/2; n₂ = 1,5.

Знайти: n₁.

Розв’язок. Відповідно до закону Брюстера відбитий промінь буде максимально поляризований, якщо тангенс кута падіння чисельно дорівнює відносному показникові заломлення; , звідки .

.

Відповідь: n₁ = 1,33.

Приклад 16. Який кут утворюють площини поляризації двох ніколей, якщо світло, що вийшло з другого ніколя, було ослаблене у 5 разів. Врахувати, що поляризатор поглинає 10 %, а аналізатор 8 % падаючого на них світла.

Дано: k₁ = 0,1; k₂ = 0,08; n = I₀/I₂ = 5.

Знайти:

Розв’язок. Природний промінь світла, падаючи на грань призми Ніколя, зазнає подвійного променезаломлення, у результаті чого виникають два промені: звичайний і незвичайний. Обидва промені поляризовані у взаємно перпендикулярних площинах, інтенсивність їх однакова і дорівнює половині інтенсивності природного світла. З урахуванням поглинання інтенсивність світла, що пройшло через поляризатор , де I₀ – інтенсивність природного світла, що падає на перший ніколь.

Поляризований промінь, потрапляючи на другу призму (аналізатор), знову випробує поглинання. Крім того, інтенсивність цього променя зменшується через розбіжність площин поляризації поляризатора й аналізатора. Зменшення інтенсивності визначається законом Молюса .

З урахуванням втрат інтенсивності світла в аналізаторі, одержимо

,

звідки

.

Зробимо обчислення.

, тобто .

Відповідь: .