4.5 Линеаризация сау

При анализе и синтезе САУ применяются математические модели (ММ), представляемые, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). Большинство реальных ОУ в широком диапазоне изменения их переменных являются нелинейными, однако, как показывает практика, в области достаточно малых отклонений координат (переменных) они могут быть аппроксимированы линейными ММ. Свойство линейности ММ ОУ позволяет при исследовании САУ воспользоваться преобразованием Лапласа к ММ в форме ОДУ и свести интегрирование ОДУ к простым алгебраическим преобразованиям. Кроме того, линейность преобразований и получаемых линейных подпространств координат лежит в основе векторно-матричных моделей САУ и их исследования в пространстве состояний, т. е. во временной области. Последнее обстоятельство позволяет применить при синтезе и анализе САУ упоминаемые ранее компьютерные системы Matlab, MathCAD, Maple V, Mathematica и др., базирующиеся на матричных методах исследования линейных систем.

Любая линейная система удовлетворяет свойствам суперпозиции и гомогенности. Первое свойство означает, что произвольная сумма аддитивных воздействий x₁(t) + x₂(t) на входе САУ дает реакцию y₁(t) + y₂(t) на выходе САУ. Второе свойство предполагает выполнение условия масштабируемости, т. е. при изменении входного сигнала x₁ в k раз выходной сигнал y₁ линейной САУ изменится соответственно в k раз.

Подавляющее большинство механических и электрических элементов САУ являются линейными в достаточно широком диапазоне изменения их переменных (координат) относительно стационарного режима, чего нельзя сказать о гидравлических, пневматических, термодинамических и иных элементах. Вместе с тем, даже такие элементы САУ можно линеаризовать при условии достаточно малых отклонений координат в окрестности точки стационарного режима (рабочей точки).

Любую непрерывную функцию y(x) в окрестности рабочей точки x = x₀ можно разложить в ряд Тейлора

(4.31)

В окрестности рабочей точки при малых отклонениях переменной x от x₀ выражение (4.31) можно аппроксимировать линейной формой

, (4.32)

где k – тангенс угла наклона касательной к кривой в точке x₀.

Выражение (4.32) можно преобразовать к виду

(4.33)

или

. (4.34)

Данный метод линеаризации иногда еще называют методом касательной линеаризации в рабочей точке x₀ или вдоль рабочей траектории .

Рассмотрим простейший пример линеаризации модели идеального маятника как статического элемента САУ (см. рис. 4.4).

Уравнение движения маятника, отклоненного на угол от вертикали, в осях “угол - вращающий момент” в соответствие с (4.20) имеет вид

, (4.35) где M – вращающий момент;

g – ускорение свободного падения.

Линеаризуем (4.35) в окрестности рабочей точки M₀( ), где примем равным нулю:

(4.36)

или . (4.37)

Рассмотрим пример линеаризации нелинейного уравнения, описывающего зависимость электромагнитного момента M двигателя постоянного тока от тока якоря i_я и магнитного потока Ф,

M = C_мФ i_я , (4.38)

где C_м – конструктивная постоянная двигателя.

Уравнение (4.38) относится к классу нелинейных уравнений, поскольку содержит произведение координат электродвигателя – магнитного потока и тока якоря. Линеаризуем (4.38) в окрестности рабочей точки M₀(Ф₀, i_я0), соответствующей, например, номинальному режиму работы двигателя, т. е. при M₀ = M_н, Ф₀ = Ф_н, i_я0 = i_ян :

. (4.39)

Пренебрегая в (4.39) произведением приращений координат получим линеаризованное уравнение в приращениях

. (4.40)

В этом уравнении Ф₀ и i_я0 предполагаются величинами постоянными, а, следовательно, уравнение (4.40) относится к классу линейных (линеаризованных в рабочей точке) уравнений.

Если управление двигателем осуществляется одновременно по цепям якоря и магнитного потока (цепи возбуждения двигателя), то рабочая точка в процессе управления будет смещаться относительно начального (номинального) режима, образуя семейство рабочих точек или рабочую траекторию. В этом случае при применении уравнения (4.40) говорят о линеаризации исходного нелинейного уравнения (4.38) вдоль рабочей траектории

M₀ = C_м Ф₀ i _я0.

Помимо касательной линеаризации при исследовании нелинейных САУ в частотной области применяют метод гармонической линеаризации, а при исследовании стохастических САУ - стохастической линеаризации [5].