11.2 Дискретные передаточные функции и разностные уравнения

В инженерной практике для описания динамических звеньев дискретных САУ (объектов управления, регуляторов, фильтров и т. п.) применяют дискретные передаточные функции (ДПФ) вида

(11.9)

где X(z), Y(z) – соответственно входная и выходная переменные дискретного звена. Заметим, что практически реализуемые ДПФ должны иметь порядок полинома знаменателя больше порядка полинома числителя.

Способы получения ДПФ:

1). Прямой способ (прямое дискретное преобразование Лапласа):

x

(t) x(kT) X(z)

y(t) y(kT) Y(z)

Чтобы получить прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала x(t), необходимо заменить этот сигнал дискретными значениями x(kT). Каждое значение x(kT) домножить на z^-k, а затем полученный степенной ряд свернуть в конечную сумму (10.7), которая, по сути, представляет собой дискретное преобразование Лапласа X(z). Аналогично получают прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала y(t). Прямое z-преобразование является однозначным преобразованием.

2). С помощью таблицы z-преобразований.

В табл. 11.1 приведено z-преобразование наиболее часто встречающихся в САУ функций.

Таблица 11.1

Z-преобразование наиболее часто встречающихся в САУ функций

x(t)	X(p)	X(z)
	1	1
1(t)
t
sin
cos
sin
cos

3). Через импульсную переходную характеристику

.

Замечание: эти преобразования относятся к дискретным системам без фиксатора (экстраполятора).

Следует отметить, что, хотя прямое преобразование Лапласа является однозначным, одно и то же динамическое звено может иметь бессчетное число дискретных передаточных функций в зависимости от применяемого метода экстраполяции. В частности, интегрирующее звено может быть представлено следующими дискретными передаточными функциями:

; (11.10)

, (11.11)

, (11.12)

, (11.13)

где T – такт квантования, 0    1 .

Первая и вторая передаточные функции получены с применением экстраполяции нулевого порядка (метода прямоугольников), причем оценка производной выходного сигнала осуществляется соответственно в k-й и (k-1)-й моменты времени.

Третья передаточная функция получена с применением метода Тастина (метода трапеций), причем усредненная оценка производной выходного сигнала осуществляется по двум точкам – в k-й и (k-1)-й моменты времени.

Четвертая передаточная функция (семейство передаточных функций) получена на основе метода прямоугольников со смещенной оценкой производной выходного сигнала ( = var) .

Дискретные передаточные функции дифференцирующего звена могут быть получены из приведенных выше путем перестановки полиномов числителя и знаменателя.

К дискретным передаточным функциям и соответствующим структурным схемам применимы те же правила структурных преобразований, что и для непрерывных систем.

Для синтеза систем управления реального времени, исследования цифровых систем управления во временной области используют разностные уравнения. Если известна дискретная передаточная функция какого-либо звена, то получение разностного уравнения не представляет труда. В частности, разностные уравнения, описывающие процессы в интегрирующих звеньях (формулы 11.10…11.13), имеют вид:

1. Y (kT) = Y ((k-1)T) + TX (kT);

2. Y (kT) = Y ((k-1)T) + TX ((k-1)T);

3. Y (kT) = Y ((k-1)T) + 0,5 T [X (kT) + X((k-1)T)];

4. Y (kT) = Y ((k-1)T) + (T / (1+ ) ) [X (kT) +  X((k-1)T)].

В пространстве состояний цифровые (импульсные) системы управления представляют либо в виде векторно-матричных разностных уравнений, либо в виде структурных схем с дискретным временем (схем пространства состояний) [2].