7.3.5 Относительная устойчивость. Запасы устойчивости

Как уже отмечалось, устойчивость системы является необходимым, но не достаточным условием ее функционирования. Важно знать степень устойчивости системы, т. е. ее относительную устойчивость. При различных критериях оценки устойчивости понятие относительной устойчивости будет также разным.

Запас устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица - некоторая величина , которую должен превышать минимальный определитель Гурвица, определяемый выражением (7.10), т. е. .

При частотных критериях устойчивости различают два критерия относительной устойчивости – запасы устойчивости по амплитуде и по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде (модулю) определяется степенью удаленности точки пересечения годографом разомкнутой системы отрицательной действительной оси от критической точки (-1, j0). В численном значении - это длина отрезка [0a] (рис. 7.11).

Рис. 7.11 Запасы устойчивости САУ

Нормированная величина запаса устойчивости по модулю:

.

Если , то система устойчивая.

Если , то система находится на границе устойчивости.

Если , то система неустойчива.

На практике считается допустимым иметь запас по амплитуде в логарифмическом масштабе .

Таким образом, для определения запаса устойчивости по амплитуде необходимо:

1. построить годограф АФХ разомкнутой системы.

2. определить ближайшую точку пересечения данного годографа с действительной осью по отношению к точке (-1, j0).

3. рассчитать нормированный запас устойчивости по формуле: .

Если полученный запас устойчивости больше заданного, то САУ отвечает запасу устойчивости по амплитуде, в противном случае не обладает.

Запасом устойчивости по фазе называется минимальный угол γ (рис. 7.11), образуемый отрицательной действительной осью и прямой, соединяющий начало координат и точку пересечения годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы и окружности с единичным радиусом с центром в начале координат.

На практике допустимым запасом устойчивости по фазе считается угол .

Если , то система обладает запасом устойчивости.

Если , то система не обладает запасом устойчивости.

Запасы устойчивости системы можно определить также по диаграмме Боде (рис. 7.9б). Запас по модулю обозначен ΔL и соответствует сдвигу по фазе разомкнутой системы на угол –π . Запас по фазе обозначен Δφ. Он определяется на частоте среза и соответствует коэффициенту усиления разомкнутой системы, равному единице (0 дБ).

Относительную устойчивость системы можно определить по диаграмме Боде с помощью функции margin системы MATLAB. Оценим относительную устойчивость системы, представленной передаточной функцией (7.23). Запишем скрипт Matlab:

>> num=[0.4];

>> den=[1 2 1 0.6];

>> sys=tf(num,den)

Transfer function:

0.4

---------------------

s^3 + 2 s^2 + s + 0.6

>> margin(sys).

Диаграмма Боде этой системы с показателями относительной устойчивости приведена на рис. 7.12.

Рис. 7.12 Диаграмма Боде с показателями относительной устойчивости

Как видим, на диаграмме обозначены запасы устойчивости системы: 10,9 дБ по амплитуде и 73,9 градуса по фазе.