7.3.6 Устойчивость систем со звеном чистого запаздывания
Многие технологические процессы характеризуются запаздыванием по времени в каналах измерения (контроля) координат или управления. Такое запаздывание называют транспортным запаздыванием или временем идеального (чистого) запаздывания.
Передаточная функция звена чистого запаздывания имеет вид
, (7.26)
где T – время чистого запаздывания.
Системы со звеньями чистого запаздывания не могут быть непосредственно представлены в виде дробно-рациональных передаточных функций, поэтому они не поддаются анализу алгебраическими критериями устойчивости. Наиболее подходящим для анализа устойчивости таких систем является частотный метод Найквиста. Множитель (7.26) не приводит к появлению дополнительных полюсов и нулей в передаточной функции разомкнутой системы, однако вносит дополнительный отрицательный фазовый сдвиг
. (7.27)
Этот фазовый сдвиг должен быть добавлен
к фазовому сдвигу исходной разомкнутой
системы. Графически это означает
дополнительное закручивание годографа
АФХ разомкнутой системы на угол
по часовой стрелке или соответствующий
дополнительный завал ЛФЧХ на диаграмме
Боде, а, значит, снижение запаса
устойчивости по фазе.
При достаточно больших значениях
система может потерять устойчивость.
Если нет возможностей уменьшения времени
чистого запаздывания, то для приведения
системы в устойчивое состояние необходимо
снижать коэффициент усиления разомкнутого
контура. Неизбежной расплатой за это
является увеличение статической
ошибки регулирования.
В инженерной практике при исследовании систем управления со звеном чистого запаздывания это звено обычно приводят к дробно-рациональному виду путем разложение его в ряд Паде
. (7.28)
В частности, при T=1 и при аппроксимации звена чистого запаздывания рядом Паде 2-го порядка аппроксимирующая передаточная функция будет иметь вид
. (7.29)
Скрипт Matlab, позволяющий сформировать ряд Паде 2-го порядка и описывающий переходный процесс в соответствующем звене, имеет вид:
>> [num,den]=pade(1,2); % Формирование ряда Паде;
>> sys=tf(num,den); % Формирование передаточной функции;
>> t=[0:0.01:5]; % Задание параметров переходного процесса;
>> [y,T]=step(sys,t); % Расчет переходного процесса;
>> plot(T,y); % Отображение графика переходного процесса.
Переходный процесс в таком звене представлен на рис. 7.13. Как видим, ряд Паде 2-го порядка весьма грубо отражает процессы, обусловленные чистым запаздыванием. Увеличения числа членов разложения в ряде Паде, например в 20 раз, позволяет заметно повысить точность аппроксимации, однако в зоне транспортного запаздывания наблюдаются высокочастотные пульсации (рис. 7.14). Это предполагает, что исследуемая система должна обладать свойствами низкочастотного фильтра.
Рис. 7.13 Переходный процесс в звене чистого запаздывания,
аппроксимированном рядом Паде 2-го порядка
Рис. 7.14 Переходный процесс в звене чистого запаздывания,
аппроксимированном рядом Паде 40-го порядка
8. Качество систем управления
Любая САУ кроме устойчивости должна обеспечивать заданные качественные показатели управления. Качество управления (регулирования) оценивается количественными показателями, отражающими близость фактического процесса управления к желаемому. Задача обеспечения качества системы решается на этапе ее синтеза за счет формирования необходимой структуры устройства управления, введения обратных связей по координатам состояния и включения корректирующих звеньев в структуру устройства управления (см. гл. 10). Поскольку промышленные системы управления относятся к динамическим системам, их качество оценивают по поведению как в переходном, так и в установившихся режимах. Требования к установившимся режимам работы САУ, расчет статической ошибки регулирования, понятия статических и астатических систем рассмотрены в гл. 4.2. Ниже будут рассмотрены требования к качеству систем управления и способы оценки качественных показателей, прежде всего, в динамических, т. е. переходных режимах.
Различают прямые и косвенные показатели качества регулирования.