10.3.2 Коррекция с отставанием по фазе

Рассмотрим корректирующее устройство, выполненное на основе операционного усилителя (рис. 10.6) с передаточной функцией

, (10.23)

где K_ку = R₂ / R₁, T₁ = R₁C₁, T₂ = R₂C₂, , k = T₂ / T₁, т. е. для реализации отставания по фазе, как и для звена с опережением, должно выполняться условие: k > 1.

Его частотную характеристику можно записать в виде

, (10.24)

где , .

Таким образом, для данной структуры корректирующего устройства необходимо выбрать 3 параметра: K_ку, , k.

На рис. 10.8 приведено расположение полюса и нуля на комплексной плоскости, а на рис. 10.9 – диаграмма Боде корректирующего устройства с отставанием по фазе.

Поскольку по модулю нуль больше полюса, асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон -20 дБ/дек в области средних частот, т. е. при . Фазовая характеристика в соответствие с (10.24) определяется уравнением

. (10.25)

Отрицательный фазовый сдвиг имеет максимальное значение на частоте , определяемой как среднегеометрическое значений полюса и нуля,

т. е.

. (10.26)

Рис. 10.9 Диаграмма Боде корректирующего звена

с отставанием по фазе

Рис. 10.8 Расположение полюса

и нуля корректирующего звена

с отставанием по фазе

Чем больше кратность отношения нуля к полюсу, тем больше максимальный отрицательный фазовый сдвиг, вносимый корректирующим устройством и больше его дестабилизирующее действие. Компенсация такого отрицательного явления, т. е. увеличение запаса по фазе, обеспечивается корректирующим устройством за счет снижения коэффициента усиления на

-20lgk. При этом происходит снижение частоты среза и, тем самым, полосы пропускания скорректированной САУ, а, значит, повышается помехозащищенность системы.

Синтез корректирующего устройства с отставанием фазы выполняют в следующей последовательности.

1. Определить требуемый коэффициент ошибки в нескорректированной системе и вычислить необходимый коэффициент K_ку корректирующего устройства. Построить диаграмму Боде нескорректированной системы.

2. Оценить запас по фазе в нескорректированной системе.

3. Сдвигая ЛАЧХ влево, выбрать частоту среза скорректированной САУ , на которой будет обеспечиваться заданное значение запаса по фазе.

4. Выбрать частоту излома (сопрягающую частоту) , соответствующую нулю корректирующего устройства, на декаду левее .

5. Определить, на сколько необходимо уменьшить усиление скорректированной САУ на частоте , чтобы ЛАЧХ скорректированной САУ на этой частоте имела единичный коэффициент усиления (уровень 0 дБ).

6. Вычислить параметр k, учитывая, что корректирующее устройство на частоте вносит ослабление -20lgk.

7. Частоту излома (сопрягающую частоту), соответствующую нулю корректирующего устройства, выбрать на декаду левее частоты среза . Найти частоту излома, соответствующую полюсу корректирующего устройства, .

8. Построить частотные характеристики скорректированной САУ, проверить полученные запасы по амплитуде и фазе.

Рассмотрим пример синтеза САУ с отставанием по фазе. Пусть объект управления и звено обратной связи по регулируемой координате имеют передаточные функции (10.13), (10.14).

Будем полагать также, что к системе управления предъявляются те же требования, что и в предыдущем примере (относительная установившаяся динамическая ошибка – не более 5%, а запас по фазе – не менее 40 ).

В соответствие с (5.8) и табл. 5.1 коэффициент передачи разомкнутой САУ должен быть не менее коэффициента ошибки по скорости ( ), а частотная передаточная функция будет иметь вид (10.17). Диаграмма Боде нескорректированной САУ будет такой же, что и в рассмотренном выше примере. На рис. 10.10 ЛАЧХ и ЛФЧХ нескорректированной САУ представлены сплошными полужирными линиями.

Частота среза нескорректированной САУ , а значит в соответствие с (10.18) фазовый сдвиг . Запас по фазе составляет . Введем корректирующее устройство с передаточной функцией, обеспечивающего отставание по фазе.

Сначала определим частоту среза , обеспечивающую фазовый сдвиг ЛАЧХ , т. е. запас по фазе около . Частота среза скорректированной САУ, на которой будет обеспечиваться заданное значение запаса по фазе, составит около 1,5 рад/с, а коэффициент усиления системы уменьшится на 20 дБ.

Учитывая, что корректирующее устройство на частоте вносит ослабление -20lgk, получим 20дБ = 20lgk, откуда определим параметр k корректирующего устройства: k=10. Тогда частоты излома скорректированной ЛАЧХ, соответствующие нулю и полюсу корректирующего устройства, , .

ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной САУ представлены на рис. 10.10 пунктирными кривыми, а ЛАЧХ корректирующего устройства - штрихпунктирной линией.

Таким образом, передаточная функция корректирующего устройства с опережением по фазе имеет вид

. (10.27)

Рис. 10.10 Диаграмма Боде САУ при коррекции

с отставанием по фазе

Корректирующее устройство (10.23) реализуют на основе операционного усилителя (рис. 10.6) при T₂ > T₁.

Таким образом, передаточная функция разомкнутой скорректированной САУ имеет вид

. (10.28)

Фаза частотной передаточной функции, соответствующей (10.28), на частоте среза 1,5 рад/c

.

Тогда запас по фазе скорректированной САУ

, что отвечает исходным требованиям к CАУ.

В отличие от САУ, имеющих коррекцию с опережением по фазе, полоса пропускания и, соответственно, быстродействие систем, имеющих коррекцию с отставанием по фазе, будет ниже, однако они менее подвержены влиянию внешних и внутренних шумов.