8.2.2 Частотные методы оценки качества
Эти методы базируются на преобразовании Фурье и основаны на том, что переходный процесс при заданном входном (задающем или возмущающем) воздействии однозначно связан с видом АФЧХ замкнутой системы.
Как уже отмечалось, наиболее часто в качестве внешнего воздействия на систему принимают единичное ступенчатое воздействие. Разложение этой ступенчатой функции в непрерывный гармонический ряд осуществляется с помощью интеграла Дирихле
. (8.8)
Пусть АФЧХ замкнутой системы имеет вид:
. (8.9)
Тогда реакция системы (переходная функция) на внешнее воздействие в виде ступенчатой функции (8.8) может быть вычислена по одной из формул:
, (8.10)
. (8.11)
Наиболее часто в основе частотных
методов исследования качества системы
применяют формулу (8.10), т. е. оценку
качества переходного процесса ведут
по вещественной частотной характеристике
(ВЧХ)
.
Различают прямые и косвенные частотные
методы оценки показателей качества.
Прямые методы оценки показателей
качества системы основываются на
построении переходного процесса
в зависимости от
или
с помощью специальных методов (Брауна,
Кэмпбела, Воронова, Солодовникова и
др.) [1, 2]. Косвенные методы позволяют
по виду
приближенно оценить качество переходного
процесса h(t).
Приведем сначала основные положения косвенных частотных методов оценки качества САУ:
1) близким ВЧХ соответствуют близкие переходные характеристики ;
2) начало ВЧХ (низкочастотная ветвь) соответствует окончанию переходного процесса (установившемуся режиму) и, наоборот, конец ВЧХ (высокочастотная ветвь) соответствует началу переходного процесса, т. е.
;
3) качество САУ определяется преимущественно
низкочастотной и среднечастотной
областью ВЧХ
,
т. е. оценивается в пределах полосы
пропускания системы
(области существенных частот);
4) ВЧХ, охватывающим большую площадь соответствует более быстрый переходный процесс, т. е. чем шире , тем меньше время переходного процесса ;
5) сжатию характеристики
по оси
соответствует пропорциональное
растяжение характеристики
по оси t и, соответственно
;
6) для монотонности, т. е. апериодического характера процесса (кривая 1 на рис. 8.4) достаточно, чтобы характеристика была монотонно убывающей положительной функцией (кривая 1 на рис. 8.5), т. е. должны выполняться условия
;
Рис. 8.4 Апериодический (1)
и колебательные (2, 3) переходные процессы
Рис. 8.5 Монотонно убывающая (1),
невозрастающая (2)
и колебательная (3)
ВЧХ замкнутых систем
длительность переходного процесса в
этом случае определяют по формуле
,
где ω01 – верхняя граница области
существенных частот для данной системы;
7) чтобы перерегулирование не превышало 18% (кривая 2 на рис. 8.4), достаточно чтобы характеристика была невозрастающей положительной функцией (кривая 2 на рис. 8.5), т. е. должны выполняться условия
;
длительность переходного процесса для
этого случая
;
8) если перерегулирование выше 18% (кривая 3 на рис. 8.4), характеристика имеет выраженный максимум (кривая 3 на рис. 8.5);
длительность переходного процесса для
этого случая
,
где
-
частота, при которой ВЧХ замкнутой
системы становится менее нуля;
чем выше
,
тем больше амплитуда в переходной
характеристике
;
9) если обращается в бесконечность при некоторой частоте , то система является неустойчивой.
Прямые частотные методы оценки качества позволяют уточнить оценки качества переходного процесса, и основаны на построении графика переходного процесса по ВЧХ замкнутой системы. Точное решение этой задачи требует численного решения уравнений (8.10) или (8.11) с применением средств вычислительной техники. В связи с этим в инженерной практике получили приближенные методы построения переходного процесса по виду ВЧХ. Наиболее распространенным способом приближенного построения является метод Солодовникова (метод трапеций) [1, 2], суть которого заключается в следующем:
1) заменяют ломаной кусочно-линейной линией (штриховые линии на рис. 8.6а);
2) выделяют прямоугольные трапеции (рис. 8.6б), для каждой из которых определяют параметры:
P0i – высота i-й трапеции;
- частота пропускания;
- частота равномерного пропускания;
- коэффициент наклона трапеции;
;
3) для каждой трапеции строят переходный процесс xi (t) (рис. 8.7) по формуле
Рис. 8.6 Процесс аппроксимации ВЧХ ломаной линией и выделение трапеций
Рис. 8.7 Построение переходного процесса с помощью
трапецеидальных ВЧХ
, (8.12)
где τ – табличное время, связанное с
истинным временем соотношением 
;
- табулированная функция (h-функция),
определяемая по специальным таблицам
[1, 2] в зависимости от χ и τ;
4) определяют
(см. рис. 8.7) как сумму составляющих xi
(t), т. е.
,
где n – число трапеций.